Fonction logarithme népérien 1 – Analytique

Définition

La fonction logarithme népérien définie sur $]0~ ; + \infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l'unique solution de l'équation $\mathrm e^{y} = x$ d'inconnue $y$.

Propriétés de base

Elle est définie, continue, dérivable sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$. Pour tout $x \in\:]0~ ; + \infty[$, $\displaystyle \ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$.

Valeurs remarquables : $\ln(1) = 0$ et $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0~ ; 1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1~ ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$.

Propriétés

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

Dérivée de $\ln(u)$

Pour une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\ln(u)$ est dérivable sur $\rm I$ et :

$\displaystyle (\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ sur cet intervalle.

Limites

Limite en 0⁺

Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, la fonction logarithme népérien tend vers moins l'infini.

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty$

Limite en +∞

Lorsque x tend vers plus l'infini, la fonction logarithme népérien tend vers plus l'infini.

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote verticale d'équation x = 0.

Représentation graphique

Le graphique ci-dessous illustre le comportement de la fonction logarithme népérien avec ses limites caractéristiques.

Propriétés de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante, donc pour tous les nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ :

Équivalences importantes

• Égalité : $\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$
• Inégalité stricte (inférieur) : $\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b$
• Inégalité stricte (supérieur) : $\ln(a) > \ln(b) \Leftrightarrow a > b$