Probabilités conditionnelles

Objectif

Savoir calculer la probabilité d'un événement simple et l'exprimer sous forme de fraction, de nombre décimal ou en pourcentage.

Pourquoi c'est important 

Opérations sur les événements

Intersection de deux événements

L'intersection de deux événements $A$ et $B$ est notée $A \cap B$ ("$A$ inter $B$"). $A \cap B$ correspond à l'événement "$A$ et $B$".

Événements incompatibles

Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont incompatibles.

Événements indépendants

Si $A$ et $B$ sont indépendants, on a :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Réunion de deux événements

La réunion de deux événements $A$ et $B$ est notée $A \cup B$ ("$A$ union $B$"). $A \cup B$ correspond à l'événement "$A$ ou $B$".

Propriétés

Formule générale :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Cas particulier : Si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements ($A$ de probabilité non nulle). La probabilité conditionnelle de l'événement $B$ sachant que l'événement $A$ est réalisé est :

$$\mathrm{P}_{A} (B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$$

Représentation par arbre pondéré

On peut représenter la situation d'une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a :

$\mathrm{P}_A (B) = 0,6$    $\mathrm{P}_A (\bar{B}) = 0,4$    $\mathrm{P}_{\bar{A}} (B) = 0,7$    $\mathrm{P}_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$

Calcul des probabilités d'intersection

On a aussi, par exemple :

$\mathrm{P}(A \cap B) = {\mathrm{P}}_A (B) \times \mathrm{P}(A) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$

et

$\mathrm{P}(\bar{A} \cap B) = {\mathrm{P}}_{\bar{A}} (B) \times \mathrm{P}(\bar{A}) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$

Formule des probabilités totales

Soient A et B deux événements tels que A, $\bar{A}$, B et $\bar{B}$ sont de probabilités non nulles. A ∩ B et $\bar{A}$ ∩ B forment une partition de l'événement B et on a :

$$\begin{array}{ll} \rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\\ \rm P(B) = P_A(B) \times P(A) + P_{\bar{A}}(B) \times P(\bar{A}) \end{array}$$

Exemple

On a vu que :

$$\rm P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$$

et

$$\rm P(\bar{A} \cap B) = P_{\bar{A}}(B) \times P(\bar{A}) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$$

D'après la formule des probabilités totales :

$$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = 0,12 + 0,56 = 0,68$$