Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

Définition

Le travail, noté $\rm W_{A B}(\overrightarrow{F})$ d'une force constante $\rm \overrightarrow{F}$, sur un déplacement $\rm AB$ de son point d'application, est le produit scalaire de la force $\rm \overrightarrow{F}$ par le déplacement $\rm \overrightarrow{AB}$.

On écrit ainsi :

$\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB}}$
ou $\boxed{\rm W_{A B}(\overrightarrow{F})=F \cdot AB \cdot \cos \alpha}$

avec

• $\rm W_{AB}(\overrightarrow{F})$ : travail de la force $\rm \overrightarrow{F}$ en Joules (J)
• $\rm \overrightarrow{AB}$ : vecteur déplacement du point d'application de la force. $\rm AB$ en mètres (m)
• $\alpha$ : angle existant entre les vecteurs $\rm \overrightarrow{F}$ et $\rm \overrightarrow{AB}$, en degrés (°) ou rad (radian)

Travail du poids

$\rm W_{AB}\left(\overrightarrow P \right) = \overrightarrow P \cdot \overrightarrow{AB} = m {\overrightarrow{g}} \cdot \overrightarrow{AB}$.

Or dans le triangle $\rm AOB$ représenté ci-dessous :

$\rm \cos (\alpha)=\dfrac{A O}{A B}$
$\rm \Rightarrow AB \cdot \cos (\alpha)=AO=z_A-z_O$
$\rm \Rightarrow AB \cdot \cos (\alpha)=z_A-z_B$
$\rm \Rightarrow W_{AB}(\overrightarrow {P})=m g \cdot AB \cdot \cos (\alpha)=m g\left(z_A-z_B\right)$

Bilan : le travail du poids est défini par la relation suivante :

$\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{P})=m g\left(z_A-z_B\right)}$

Il ne dépend que de la variation d'altitude $\rm z_A-z_B$ (en mètres).

Travail d'une force de frottement $\overrightarrow{f}$

Constante s'exerçant sur un objet en mouvement rectiligne uniforme de $A$ à $B$ :

Théorème de l'énergie cinétique

L'énergie cinétique est définie par :

$\rm \displaystyle \mathrm{E_c} = \frac{1}{2} \times m \times v^2$

Avec :

• La masse $\rm m$ exprimée en kilogrammes (kg)  
• La vitesse $\rm v$ exprimée en mètres par seconde (m/s)  
• L'énergie cinétique $\rm E_c$ exprimée en Joule (J).

La variation d'énergie cinétique $E_c$ d'un solide entre $A$ et $B$ est égale au travail de la résultante des forces appliquées entre $A$ et $B$ : c'est le théorème de l'énergie cinétique :

$\rm E_{c_B} - E_{c_A} = \sum W_{AB}\left(\overrightarrow F\right)$

$\rm \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm B^2} - \dfrac{1}{2} \cdot v_{\rm A^2} = \rm \Delta E_c = \sum W_{AB}\left(\vec F\right)$

Avec $\rm A$ le point de départ et $\rm B$ le point d'arrivée.

Énergie mécanique

L'énergie mécanique, notée $\rm E_m$, d'un corps est la somme de son énergie cinétique $\rm E_c$ et de son énergie potentielle de pesanteur $\rm E_{pp}$ :

$\rm E_m = E_c + E_{pp}$

On appelle énergie potentielle de pesanteur d'un solide $\rm S$ de masse $m$ situé à l'altitude $z$ la quantité :

$\boxed{\rm E_{pp} = m.g.z}$

avec

• $\rm E_{pp}$ : énergie potentielle de pesanteur en joules (J)
• $\rm m$ : masse du solide en kilogrammes (kg)
• $\rm z$ : altitude du solide en mètres (m)

Conversion de l'énergie mécanique

Au cours d'une chute sans frottements, l'énergie mécanique est constante : on dit qu'elle se conserve. La diminution de l'énergie potentielle de pesanteur est compensée par l'augmentation de l'énergie cinétique.

EN RÉSUMÉ

Objectif

Déterminer l'équation qui relie les coordonnées $x$ et $y$ d'un mobile, sans dépendre explicitement du temps $t$.

Pourquoi c'est important ?

• Permet de prévoir la forme de la trajectoire à partir des équations horaires.
• Utilisée en balistique (lancer de projectiles), en orbital (orbites), en mécanique.
• Sert à tracer la trajectoire sans calculer la position à chaque instant.

Petit rappel

• Une trajectoire est la courbe décrite par un point en mouvement.
• L'équation de la trajectoire exprime $y$ en fonction de $x$ (ou inversement) en éliminant le temps des équations horaires $x(t)$ et $y(t)$.
• Cette méthode s'utilise en cinématique 2D (mouvement rectiligne oblique, parabole, cercle…).

🔧 Les étapes pour assurer

1. Travail $W$ d'une force constante

Si la force $\vec{F}$ est constante et que l'objet se déplace d'un vecteur $\vec{d}$, alors le travail de cette force est donné par :

$$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$$

Où :

• $F$ : intensité de la force en $\mathrm{N}$
• $d$ : déplacement en $\mathrm{m}$
• $\alpha$ : angle entre force et déplacement

Cas particuliers :

• Force parallèle au déplacement ($\alpha = 0°$) → $W = F \cdot d$
• Force perpendiculaire au déplacement ($\alpha = 90°$) → $W = 0$

2. Énergies mécaniques

• Énergie cinétique

$$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$$

Où :

• $m$ : masse en $\mathrm{kg}$
• $v$ : vitesse en $\mathrm{m/s}$

• Énergie potentielle de pesanteur

$$E_p = mgh$$

Où :

• $m$ : masse en $\mathrm{kg}$
• $g$ : intensité de pesanteur, $g = 9{,}81 \mathrm{~N.kg^{-1}}$
• $h$ : hauteur par rapport à un niveau de référence en $\mathrm{m}$

• Énergie mécanique

$$E_m = E_c + E_p$$

En l'absence de frottement l'énergie mécanique est conservée, c'est-à-dire qu'elle est constante.

Exemple

Un objet de $2 \mathrm{~kg}$ est lancé à $4 \mathrm{~m/s}$ :

$$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 4^2 = 16 \mathrm{~J}$$

Si cet objet monte de $3$ mètres :

$$E_p = mgh = 2 \times 9{,}81 \times 3 = 58{,}86 \mathrm{~J}$$

L'énergie mécanique totale est de :

$$E_m = E_c + E_p = 16 + 58{,}86 = 74{,}86 \mathrm{~J}$$

3. Théorème de l'énergie cinétique

$$W_{\mathrm{total}} = \Delta E_c$$

Travail total des forces = variation de l'énergie cinétique

4. Puissance

$$P = \dfrac{W}{\Delta t}$$

Où :

• $P$ : puissance en watt $(\mathrm{W})$ où $1 \mathrm{~W} = 1 \mathrm{~J.s^{-1}}$
• $W$ : travail total en joules $(\mathrm{J})$
• $\Delta t$ : variation du temps en secondes $(\mathrm{s})$

❌ On évite absolument

• Confondre masse $(\mathrm{kg})$ et poids $(\mathrm{N})$.
• Oublier que le travail peut être négatif si la force s'oppose au déplacement.
• Mélanger énergie cinétique et potentielle.

✅ On valide

• Utiliser les unités SI $(\mathrm{N}, \mathrm{m}, \mathrm{s}, \mathrm{kg}, \mathrm{J})$.
• Vérifier si l'angle entre force et déplacement est pris en compte.
• Penser à la conservation de l'énergie si pas de dissipation.

Le petit + à retenir