Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

Objectif

Déterminer l'équation qui relie les coordonnées

Définition

Le travail, noté $\rm W_{A B}(\overrightarrow{F})$ d'une force constante $\rm \overrightarrow{F}$, sur un déplacement $\rm AB$ de son point d'application, est le produit scalaire de la force $\rm \overrightarrow{F}$ par le déplacement $\rm \overrightarrow{AB}$.

On écrit ainsi :

$\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB}}$
ou $\boxed{\rm W_{A B}(\overrightarrow{F})=F \cdot AB \cdot \cos \alpha}$

avec

• $\rm W_{AB}(\overrightarrow{F})$ : travail de la force $\rm \overrightarrow{F}$ en Joules (J)
• $\rm \overrightarrow{AB}$ : vecteur déplacement du point d'application de la force. $\rm AB$ en mètres (m)
• $\alpha$ : angle existant entre les vecteurs $\rm \overrightarrow{F}$ et $\rm \overrightarrow{AB}$, en degrés (°) ou rad (radian)

Travail du poids

$\rm W_{AB}\left(\overrightarrow P \right) = \overrightarrow P \cdot \overrightarrow{AB} = m {\overrightarrow{g}} \cdot \overrightarrow{AB}$.

Or dans le triangle $\rm AOB$ représenté ci-dessous :

$\rm \cos (\alpha)=\dfrac{A O}{A B}$
$\rm \Rightarrow AB \cdot \cos (\alpha)=AO=z_A-z_O$
$\rm \Rightarrow AB \cdot \cos (\alpha)=z_A-z_B$
$\rm \Rightarrow W_{AB}(\overrightarrow {P})=m g \cdot AB \cdot \cos (\alpha)=m g\left(z_A-z_B\right)$

Bilan : le travail du poids est défini par la relation suivante :

$\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{P})=m g\left(z_A-z_B\right)}$

Il ne dépend que de la variation d'altitude $\rm z_A-z_B$ (en mètres).

Travail d'une force de frottement $\overrightarrow{f}$

Constante s'exerçant sur un objet en mouvement rectiligne uniforme de $A$ à $B$ :

Théorème de l'énergie cinétique

L'énergie cinétique est définie par :

$\rm \displaystyle \mathrm{E_c} = \frac{1}{2} \times m \times v^2$

Avec :

• La masse $\rm m$ exprimée en kilogrammes (kg)  
• La vitesse $\rm v$ exprimée en mètres par seconde (m/s)  
• L'énergie cinétique $\rm E_c$ exprimée en Joule (J).

La variation d'énergie cinétique $E_c$ d'un solide entre $A$ et $B$ est égale au travail de la résultante des forces appliquées entre $A$ et $B$ : c'est le théorème de l'énergie cinétique :

$\rm E_{c_B} - E_{c_A} = \sum W_{AB}\left(\overrightarrow F\right)$

$\rm \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm B^2} - \dfrac{1}{2} \cdot v_{\rm A^2} = \rm \Delta E_c = \sum W_{AB}\left(\vec F\right)$

Avec $\rm A$ le point de départ et $\rm B$ le point d'arrivée.

Énergie mécanique

L'énergie mécanique, notée $\rm E_m$, d'un corps est la somme de son énergie cinétique $\rm E_c$ et de son énergie potentielle de pesanteur $\rm E_{pp}$ :

$\rm E_m = E_c + E_{pp}$

On appelle énergie potentielle de pesanteur d'un solide $\rm S$ de masse $m$ situé à l'altitude $z$ la quantité :

$\boxed{\rm E_{pp} = m.g.z}$

avec

• $\rm E_{pp}$ : énergie potentielle de pesanteur en joules (J)
• $\rm m$ : masse du solide en kilogrammes (kg)
• $\rm z$ : altitude du solide en mètres (m)

Conversion de l'énergie mécanique

Au cours d'une chute sans frottements, l'énergie mécanique est constante : on dit qu'elle se conserve. La diminution de l'énergie potentielle de pesanteur est compensée par l'augmentation de l'énergie cinétique.