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Définition et opérations

Définition
Un nombre complexe $\mathrm z$ est écrit sous forme algébrique si $\mathrm z = a + b\mathrm i$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $\mathrm i$ est le nombre complexe tel que $\mathrm i^2 = -1$.
$a$ est appelé la partie réelle de $\mathrm z$ et est noté $\rm Re(z)$ ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $\rm z$ et est noté $\rm Im(z)$.
$\mathrm {\bar{z}} = a - b\mathrm i$ est le nombre complexe conjugué de $\mathrm z = a + b\mathrm i$.

Addition et soustraction
Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'additionner (soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire.
Exemples : $\mathrm {z}_1 = 3 + 5\mathrm i$ et $\mathrm {z}_2 = -2 + 3\mathrm i$
$\mathrm {z}_1 + \mathrm {z}_2 = (3 + 5\mathrm i) + (-2 + 3\mathrm i) = (3 + (-2)) + (5 + 3)\mathrm i = 1 + 8\mathrm i$.
$\mathrm {z}_1 - \mathrm {z}_2 = (3 + 5\mathrm i) - (-2 + 3\mathrm i) = (3 + 2) + (5 - 3)\mathrm i = 5 + 2\mathrm i$.

Multiplication
Pour multiplier deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'utiliser la distributivité classique, et de se rappeler que $\mathrm i^2 = -1$.
Exemple : $\mathrm {z}_1 = 3 + 5\mathrm i$ et $\mathrm {z}_2 = -2 + 3\mathrm i$
$\mathrm {z}_1 \times \mathrm {z}_2 = (3 + 5\mathrm i)(-2 + 3\mathrm i) = -6 + 9\mathrm i -10\mathrm i -15 = -21 - \mathrm i$

Division
Pour diviser deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple : $\mathrm {z}_1 = 3 + 5\mathrm i$ et $\mathrm {z}_2 = -2 + 3\mathrm i$
$\displaystyle \rm \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 5i}{-2 + 3i} = \frac{(3+5i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}$ $\rm \displaystyle = \frac{-6-9i-10i+15}{13} = \frac{9 - 19i}{13} = \frac{9}{13} - \frac{19}{13}i$

Forme trigonométrique

Définition
Un nombre complexe non nul $\rm z$ est écrit sous forme trigonométrique lorsque $\mathrm z = \mathrm r(\cos(\theta) + \mathrm i \sin(\theta))$, $\mathrm r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.
$\rm r = OM$ est le module de $\rm z$, noté $\rm \mid z \mid$.
$\theta$ est un argument de $\rm z$, noté $\rm \arg(z)$. Il est défini à $2\pi$ près $\rm (modulo~ 2\pi)$ et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté ($\vec{u}$ ; $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$) (en radians) dans le repère orthonormal direct (0 ; $\vec{u}$ ; $\vec{v}$).

Passage de la forme algébrique à la trigonométrique
Pour $\mathrm z = a + b\mathrm i \neq 0$,
$\mathrm r = \sqrt{a^2 + b^2}$
$\displaystyle \cos(\theta) = \frac{a}{\mathrm r}$ et $\displaystyle \sin(\theta) = \frac{b}{\mathrm r}$
On utilise ensuite le cercle trigonométrique.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique
Pour $\mathrm z = \mathrm r(\cos(\theta) + \mathrm i\sin(\theta))$, $a = \mathrm r \cos(\theta)$ et $b = \mathrm r \sin(\theta)$.