Fonctions et représentations

Définition d'une fonction

Pour définir une fonction numérique, on associe à un nombre réel $x$ d'une partie D de $\mathbb{R}$ un unique réel $y$ que l'on note $y = f(x)$.

$y$ est l'image de $x$ par $f$ et $x$ est un antécédent de $y$ par $f$.

L'ensemble de définition de $f$ est l'ensemble des nombres réels pour lesquels $f$ est définie.

Fonction croissante, décroissante

Fonction croissante

Une fonction $f$ est strictement croissante (resp. croissante) sur l'intervalle I si pour tous ($a$, $b$) de I tels que :

$a < b$, on a $f(a) < f(b)$ (resp. $f(a) \leq f(b)$).

Fonction décroissante

Une fonction $f$ est strictement décroissante (resp. décroissante) sur l'intervalle I si pour tous ($a$, $b$) de I tels que :

$a < b$, on a $f(a) > f(b)$ (resp. $f(a) \geq f(b)$).

Fonction linéaire

Définition

La fonction linéaire de coefficient $a$ est la fonction :

$$x \mapsto a x$$

Représentation graphique

Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine O du repère et par le point $(1~ ; a)$. Il suffit donc d'un deuxième point pour pouvoir la tracer. $a$ est le coefficient directeur de cette droite.

La droite ci-dessous représente graphiquement la fonction linéaire $x\mapsto 2x$ car elle passe par l'origine du repère et son coefficient directeur est $a = 2$.

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui, pour tout nombre $x$, associe $ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres.

On note $f(x) = ax+b$ ou $f:x\mapsto ax+b$.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui passe par le point $(0~ ; b)$ car $f(0) = a \times 0 + b = b$. À partir du point $(0~ ; b)$, il suffit donc d'un deuxième point pour pouvoir tracer cette droite.

Paramètres de la fonction affine

$a$ est le coefficient directeur de la droite et $b$ son ordonnée à l'origine.

La droite ci-dessous représente graphiquement la fonction affine $x\mapsto 2x + 3$ car son ordonnée à l'origine est $b = 3$ et son coefficient directeur est $a = 2$.

Équations de droites dans le plan

On munit le plan d'un repère orthonormal (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Équation réduite de droite

Une droite verticale a pour équation $x = a$ avec $a$ un nombre réel.

Si une droite n'est pas verticale, elle a pour équation $y = f(x) = ax + b$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels. $a$ est le coefficient directeur de cette droite et $b$ son ordonnée à l'origine.

Calcul du coefficient directeur

Si les points $\mathrm A(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}})$ appartiennent à cette droite non verticale, le coefficient directeur de cette droite est égal à :

$$a = \frac{y_{\mathrm{B}} - y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}}}.$$

Droites parallèles

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.

Équations graphiques

Résoudre graphiquement une équation de la forme $f(x) = g(x)$, où $f$ et $g$ sont des fonctions, revient à déterminer les abscisses $x$ des points où les courbes représentatives de $f$ et de $g$ se coupent.

Cas particulier avec une constante

Dans le cas où $g(x) = k$ ($k$ un réel), il s'agit de déterminer les abscisses $x$ des points où la courbe représentative de $f$ coupe la droite horizontale d'équation $y = k$.

Inéquations graphiques

Résoudre graphiquement une inéquation de la forme $f(x) \geq g(x)$, où $f$ et $g$ sont des fonctions, revient à déterminer les abscisses $x$ des points où la courbe représentative de $f$ est au-dessus de celle de $g$.

Cas particulier avec une constante

Dans le cas où $g(x) = k$ ($k$ un réel), il s'agit de déterminer les abscisses $x$ des points où la courbe représentative de $f$ est au dessus de la droite horizontale d'équation $y = k$.