Proportions et pourcentages

Appliquer un pourcentage

Appliquer un pourcentage à un nombre revient à effectuer une multiplication.

Exemple

$40~\%$ de $60$ est égal à $\dfrac{40}{100} \times 60 = \dfrac{40 \times 60}{100} = \dfrac{2~400}{100} = 24.$

Calculer un pourcentage

Calculer un pourcentage revient à compléter un tableau de proportionnalité.

Exemple

Dans un stade contenant $40~000$ places, il y a $28~000$ spectateurs. Calculons le pourcentage de remplissage de ce stade à l'aide d'un tableau de proportionnalité :

$40~000$ personnes correspondent à $100~\%$.

$\dfrac{28}{40} \times 100 = \dfrac{28\times 100}{40} = \dfrac{280}{4} = 70 ~\%.$

Proportion et effectif

On considère une population de référence E dont le nombre d'éléments (ou effectif) est $n_{\mathrm{E}}$ et une sous population A de E, dont le nombre d'éléments est $n_{\mathrm{A}}$.

La proportion de A dans E est la valeur comprise entre 0 et 1 suivante :

$$p = \dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}}$$

Union et intersection

On considère deux sous populations $\rm A$ et $\rm B$ de la population de référence E.

Définitions

L'intersection de $\rm A$ et $\rm B$, notée $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$, est constituée de l'ensemble des éléments de $\rm A$ et de $\rm B$. La réunion de $\rm A$ et $\rm B$, notée $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}$, est constituée de l'ensemble des éléments de $\rm A$ ou de $\rm B$, c'est-à-dire dans $\rm A$, dans $\rm B$, ou dans les deux ensembles.

Formule générale

On a :

$$p_{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}} = p_{\mathrm{A}} + p_{\mathrm{B}} - p_{\mathrm{A} \cap \mathrm{B}}$$

Cas particulier : ensembles disjoints

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont disjoints, c'est-à-dire que $\mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \emptyset$, on a :

$$p_{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}} = p_{\mathrm{A}} + p_{\mathrm{B}}$$