Calcul algébrique

Définition

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité entre deux expressions, qui sont les membres de l'équation, où figure une inconnue qui est en général notée $x$. Résoudre l'équation revient à trouver la ou les valeurs de l'inconnue $x$ telle(s) que l'égalité est vraie.

Méthode de résolution

Pour résoudre une équation du premier degré, on utilise les propriétés des égalités pour isoler l'inconnue.

Exemple

$3x - 5 = 4$ est équivalent à $3x = 4 + 5 = 9$, donc à $x = 9 \div 3 = 3$.

Définition

La racine carrée du nombre positif $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Par définition, $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = {\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$.

Équation $x^2 = a$, $a \geq 0$

Les solutions de l'équation $x^2 = a$ ($a$ positif) sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Développement

Développer une expression, c'est la transformer d'un produit en une somme. Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, nous avons :

$(a + b)\times (c + d) = a \times c + a\times d + b\times c + b\times d$

Lorsque l’on a rangé les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l’on a ordonné et réduit l’expression.

Factorisation

Factoriser une expression, c'est la transformer d'une somme en un produit de facteurs. On utilise la formule de développement dans l'autre sens.

Identités remarquables

Pour $a$ et $b$ deux nombres, nous avons les identités remarquables suivantes :

• Carré d'une somme : ${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Carré d'une différence : ${(a - b)}^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Différence de carrés : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Elles peuvent servir à développer ou à factoriser une expression.

Équation produit

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont des expressions du premier degré, $\rm A \times B = 0$ est une équation-produit.

Pour la résoudre, on utilise la propriété suivante : « un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul ».

Donc $\rm A \times B = 0$ équivaut à $\rm A = 0$ ou $\rm B = 0$.

Inéquation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés suivantes :

• une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou on soustrait le même nombre aux deux membres.
• une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre positif (non nul pour la division) les deux membres.
• une inégalité change de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre négatif (non nul pour la division) les deux membres.