Les ensembles de nombres

Définitions

Les entiers naturels $\mathbb ℕ$

Ce sont les nombres entiers de $0$ à l’infini.
$\mathbb ℕ = \{0~ ; 1~ ; 2~ ; 3~ ; \ldots\}$

Les entiers relatifs $\mathbb ℤ$

Ce sont les nombres entiers de $−\infty$ à $+\infty$.
$\mathbb ℤ = \{ \ldots − 3~ ; − 2~ ; − 1~ ; 0~ ; 1~ ; 2~ ; 3~ ; \ldots\}$

Les décimaux

Ils peuvent s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb ℤ$ et $n \in \mathbb ℕ$. Le nombre de décimales est fini.

Les rationnels $\mathbb ℚ$

Ce sont les nombres $\dfrac{a}{b}$, ($a$ et $b \in \mathbb ℤ$), dont la division « ne tombe pas juste », nombre de décimales infini.

Les réels $\mathbb ℝ$

L’ensemble des réels contient tous les nombres précédents, mais aussi tous les nombres tels que $\sqrt 2$ ou $\Pi$ appelés irrationnels.

On note $\mathbb ℝ^*$ l’ensemble $\mathbb ℝ$ privé de zéro et $\mathbb ℝ^+$ ou $\mathbb ℝ^−$ les ensembles $\mathbb ℝ$ contenant tous les nombres positifs ou négatifs. On a aussi $\mathbb ℝ^{*+}$ et $\mathbb ℝ^{*¯}$.

Propriétés

$\mathbb ℕ \subset \mathbb ℤ \subset \mathbb ℚ \subset \mathbb ℝ$

Dans $\mathbb ℝ$ on a tous les éléments de $\mathbb ℕ$, $\mathbb ℤ$, et $\mathbb ℚ$.

Écriture des nombres

Arrondi d’un nombre positif
L’arrondi à l’unité d’un nombre décimal $x$ est, s’il existe, le nombre entier le plus proche de $x$. Si $x$ est à égale distance des deux nombres entiers qui l’encadrent, l’arrondi est le plus grand de ces entiers.
Ordre de grandeur
On donne un ordre de grandeur quand le nombre exact ne peut pas être donné ou présente peu d’intérêt.
Par exemple, $58$ millions d’habitants est un ordre de grandeur de la population française.
Remarque
Les ordres de grandeur permettent de vérifier ou d’anticiper des calculs.
Par exemple, Géraldine se demande si, avec $120 €$, elle peut acheter trois articles coûtant respectivement : $18,50 €$  ; $37,75 €$ et $58,85 €$.
Pour lui donner rapidement la réponse, on cherche un ordre de grandeur du prix de chacun des articles, puis on additionne les trois ordres de grandeur. On obtient : $20 + 40 + 60 = 120$. La réponse est donc positive.
Par défaut
Quand on donne d'un nombre une valeur approchée qui lui est inférieure, on dit que cette valeur est approchée par défaut.
Une troncature est toujours une valeur approchée par défaut.
Par excès
Quand on donne d'un nombre une valeur approchée qui lui est supérieure, on dit que cette valeur est approchée par excès.
Troncature d’un nombre positif
Tronquer signifie « couper ». Tronquer l'écriture d’un nombre, c’est la couper avec la précision demandée. On obtient une valeur approchée par défaut du nombre.
Valeur approchée
Une valeur approchée d’un nombre est une valeur approximative de ce nombre. Selon la précision demandée, on donnera une valeur approchée à l’unité, au dixième, au centième, au millième près. Une valeur peut être approchée par défaut ou par excès.
Remarque
Quand le nombre est négatif, il vaut mieux écrire d’abord un encadrement de son opposé, puis en déduire la valeur approchée demandée.
La division $64,5 \div 15$ se termine, on dit aussi qu’elle « tombe juste ». L’écriture décimale $4,3$ est donc la valeur exacte du quotient. On peut écrire $64,5 \div 15 = 4,3$.
Remarque
Dans le cas d’une division qui ne se termine pas, on ne peut donner la valeur exacte du quotient qu’en écriture fractionnaire.