Dérivation

Tangente à une courbe en un point

La droite représentant la meilleure approximation affine d'une fonction en un point est appelée tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.

Nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$. Il est noté $f'(x_0)$.

Équation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation :

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

Dérivée des fonctions usuelles

Ce tableau présente les dérivées des fonctions usuelles les plus importantes à connaître pour le calcul différentiel.

Opérations sur les dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et $k$ un nombre réel. Les règles suivantes s'appliquent pour les opérations sur les dérivées.

Dérivée d'un produit par une constante

$ku$ est dérivable sur I et $(ku)' = ku'$.

Dérivée d'une somme

$u + v$ est dérivable et $(u + v)' = u' + v'$.

Dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Croissance et décroissance d'une fonction

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Si $f'(x) < 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d'une fonction

Soit $a\in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

Condition d'extremum local

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.