Suites numériques

Définition

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel $r$.

On a alors $u_{n + 1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u_{n + 1} - u_n$ et on obtient un réel $r$.

Terme général

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 + nr$.

Somme des premiers termes

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$S = u_0 + u_1 + ... + u_n= (n + 1) \frac{u_0 + u_n}{2}$.

Moyenne arithmétique de deux nombres

La moyenne arithmétique des deux nombres $a$ et $b$ est le nombre $\frac{a+b}{2}$.

Définition

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$.

On a alors $u_{n + 1} = u_n \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique, on calcule $\frac{u_{n + 1}}{u_n}$ et on obtient un réel $q$.

Terme général

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.

Somme des premiers termes

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$,

$S = u_0 + u_1 + ... + u_n $ $= u_0 \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$.

Moyenne géométrique de deux nombres positifs

La moyenne géométrique des deux nombres positifs $a$ et $b$ est le nombre $\sqrt{a\times b}$.