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Equations différentielles y' = ay

Théorème :

Les solutions des équations différentielles $y’ = ay$ (où $a$ est un nombre réel non nuls) sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{ax}$ où $k$ est un nombre réel.

A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $k$ et la solution sera unique.

Exemple : résoudre l’équation $y’ = -2y$ avec $y(0) = 3$.

Les solutions de l’équation $y’ = -2y$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{-2x}$ où $k$ est un nombre réel.

$y(0) = k \mathrm e^0 = k = 3$.

L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = 3\mathrm e^{-2x}$.

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Equations différentielles y' = ay + b

Théorème :

Les solutions des équations différentielles $y’ = ay + b$ (où $a$ et $b$ sont des réels, $a$ non nul) sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ où $k$ est un nombre réel.

A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $k$ et la solution sera unique.

Exemple : résoudre l’équation $y’ = -2y + 10$ avec $y(0) = 3$.

Les solutions de l’équation $y’ = -2y + 10$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{-2x} - \dfrac{10}{-2} = k \mathrm e^{-2x} + 5$ où $k$ est un nombre réel.

$y(0) = k \mathrm e^0 + 5 = k + 5 = 3$ donc $k = 3 - 5 = -2$.

L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = -2\mathrm e^{-2x} + 5$.