Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Les lois de Newton

1ère loi de Newton : Principe d'inertie

Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur lui se compensent (l'« état » du corps dépend des conditions initiales).

2e loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique

Cette loi établit la relation fondamentale entre les forces appliquées à un corps et son accélération.

$$\boxed{\displaystyle \rm \sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\vec{\mathcal a}}$$

3e loi de Newton : Principe d'action réaction

Si un corps $\rm A$ exerce sur un corps $\rm B$ une force $\rm \overrightarrow{F}_{A/B}$, alors $\rm B$ exerce sur $\rm A$ une force $\rm \overrightarrow{F}_{B/A}$ telle que :

$$\rm \overrightarrow{F}_{A/B} = \overrightarrow{-F}_{B/A}$$

Que les actions mécaniques entre $\bf A$ et $\bf B$ soient de contact ou à distance, que ces corps soient en mouvement ou immobiles, ces deux forces ont la même direction d'action : la droite $\rm (AB)$ ; la même intensité $\rm (F_{A/B} = F_{B/A})$ mais des sens opposés.

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Définition du système d'étude

Système : balle de masse $\rm m$

Référentiel : terrestre supposé galiléen

Bilan des forces : poids de la balle

Application de la 2e loi de Newton

• $\displaystyle \rm \sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\cdot \overrightarrow{\mathcal{a(t)}}$
• $\rm \vec P = m\cdot \overrightarrow{\mathcal{a(t)}}$
• $\mathrm m \cdot \vec g = \mathrm m\cdot \overrightarrow{a(t)}$
• $\overrightarrow{a(t)} = \vec g = \overrightarrow{\rm cte}$

Projection sur les trois axes

On projette sur les 3 axes pour analyser le mouvement dans chaque direction.

Sur Ox -------- $\scriptstyle a_x = 0$ -------- D'où en primitivant : $\scriptstyle v_x = \rm cste_1$ $\scriptstyle\mathrm{Cl}$ : $\scriptstyle v_x(t=0)=0=\rm cste_1$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle v_x(t) = 0}$ -------- D'où en primitivant : $\scriptstyle x = \mathrm{cste_4} = x(t=0)=0$ d'où $\scriptstyle \boxed{\scriptstyle x(t)=0}$

Sur Oy -------- $\scriptstyle a_y = 0$ -------- D'où en primitivant : $\scriptstyle v_y = \rm cste_2$ $\scriptstyle\rm Cl$ : $\scriptstyle v_y(t=0)$ $\scriptstyle =v_0\times \cos \alpha$ $\scriptstyle = \rm cste_2$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle v_y(t) = v_0 \cos \alpha}$ -------- D'où en primitivant : $\scriptstyle y = v_0 \times \cos \alpha \times t + \rm cste_5$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle y(t) = v_0 \times \cos \alpha \times t~~(1)}$

Sur Oz -------- $\scriptstyle a_z = -g$ -------- D'où en primitivant : $\scriptstyle v_z = -g \times t + \rm cste_3$ $\scriptstyle\rm Cl$ : $\scriptstyle v_z(t=0) = \mathrm{cste_3} = v_0 \times \sin \alpha$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle v_z(t) = -g \times t + v_0 \times \sin \alpha}$ -------- D'où en primitivant : $\scriptstyle z = -1/2 \times g \times t^2 + v_0 \times \sin \alpha \times t + \rm cste_6$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle z(t) = -1/2 \times g\times t^2 + v_0 \times \sin \alpha \times t + \rm OA~~(2)}$

Équation de la trajectoire

Grâce à ces deux équations, on peut obtenir l'équation de la trajectoire : $(1)$ Nous donne $t = \dfrac{y}{v_0\times \cos \alpha}$.

On remplace dans $(2)$ :

$$\boxed{ z(y) = -1/2 \times g \times \frac{y^2}{v_0^2 \times \cos^2 \alpha} + \tan \alpha \times y + \rm OA}$$

EN RÉSUMÉ

Objectif

Relier les forces agissant sur un objet à son mouvement.

Pourquoi c'est important ?

Les lois de Newton permettent de :

• Expliquer comment et pourquoi un objet accélère ou ralentit.
• Calculer les trajectoires et vitesses en présence de forces.
• Analyser des situations physiques (chute, frottements, satellites, etc.)

Petit rappel

• La dynamique étudie les causes des mouvements.
• Les lois de Newton décrivent le lien entre forces et mouvement.

🔧 Les étapes pour assurer

1. Les trois lois de Newton

• Principe d'inertie

Sans force résultante, un objet au repos reste au repos et un objet en mouvement garde une vitesse constante.

• Principe fondamental de la dynamique

$$\displaystyle\sum \vec{F_{\mathrm{ext}}} = m\vec{a}$$

Où

$\vec{F_{\mathrm{ext}}}$ : forces en $\mathrm{N}$
$m$ : masse en $\mathrm{kg}$
$\vec{a}$ : accélération en $\rm m \cdot s^{-2}$

• Principe d'action-réaction

Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors B exerce sur A une force de même intensité, de même direction, mais de sens opposé.

2. Unités et rappels

• Force : elle s'exprime en newton ($\mathrm{N}$)

$$1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}$$

• Poids

$$P = mg$$

Où :

$g$ : intensité de la pesanteur. Sur Terre $g \approx 9{,}81\,\mathrm{N \cdot kg^{-1}}$
$m$ : masse en $\mathrm{kg}$

❌ On évite absolument

• Oublier les forces de frottement ou de résistance.
• Confondre masse ($\mathrm{kg}$) et poids ($\mathrm{N}$).
• Appliquer la 2ᵉ loi si l'accélération est nulle (dans ce cas la force résultante est nulle).

✅ On valide

• Identifier toutes les forces (poids, réaction du support, frottements, traction…).
• Tracer un diagramme des forces.
• Utiliser des unités cohérentes.

Le petit + à retenir

Objectif

Comprendre et utiliser les vecteur vitesse et vecteur accélération pour décrire un mouvement en physique.

Pourquoi c'est important ?

• Décrire de manière complète le mouvement d'un objet, pas seulement sa vitesse.
• Analyser des trajectoires complexes (courbes, circulaires).
• Comprendre les effets des forces sur un objet (dynamique).

Petit rappel

• Une grandeur scalaire est définie uniquement par un nombre (ex : masse, température).
• Une grandeur vectorielle est définie par :
  • Une direction : ligne de mouvement (verticale vers le bas, vers le haut, etc)
  • Un sens : vers où pointe le vecteur
  • Une norme : sa valeur
• La vitesse et l'accélération sont des vecteurs.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Vecteur vitesse

Définition :

$$\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{x}(t)}{dt}$$

• $\vec{x}(t)$ = vecteur position à l'instant $t$.
• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
• Sa norme = vitesse instantanée ($\mathrm{m/s}$).

Cas discret :

$$\vec{v}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}$$

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

• Direction : celle du mouvement.
• Sens : même sens que le déplacement.
• Norme : $\|\vec{v}\| = \dfrac{\mathrm{distance~parcourue}}{\mathrm{durée}}$

2. Vecteur accélération

Définition :

$$\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt}$$

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

• C'est la variation de la vitesse en norme, direction ou sens.
• Sa norme s'exprime en $\mathrm{m/s^2}$.

Cas discret :

$$\vec{a}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

Remarque :

Même si la norme de la vitesse reste constante, il peut y avoir une accélération si la direction change (ex. mouvement circulaire uniforme).

Exemple

Un objet se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante :

• $\vec{v}$ change de direction en permanence → $\vec{a}$ est non nul
• $\vec{a}$ pointe vers le centre du cercle → accélération centripète.

❌ On évite absolument

• Confondre vitesse (scalaire) et vecteur vitesse.
• Penser qu'il n'y a accélération que si la vitesse change en valeur (elle peut aussi changer en direction).
• Oublier les unités : $\mathrm{m/s}$ pour la vitesse, $\mathrm{m/s^2}$ pour l'accélération.

✅ On valide

• Toujours représenter $\vec{v}$ tangent à la trajectoire.
• Représenter $\vec{a}$ vers l'intérieur de la courbe pour un mouvement circulaire.
• Bien différencier la variation de norme et la variation de direction.

Le petit + à retenir