Mouvement dans un champ de gravitation

Les lois de Kepler

Première loi

Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit une trajectoire elliptique dont le Soleil S est l'un des foyers.

Deuxième loi

Le rayon SM qui relie la planète M au Soleil S balaie des aires égales en des temps égaux.

Troisième loi

$$\dfrac{\rm T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{\rm G.M_S}$$

Mouvement circulaire uniforme de la Terre autour du Soleil

Définition du système d'étude

Système : Terre de masse $\rm M_T$

Référentiel : héliocentrique supposé galiléen

Bilan des forces

$$\boxed{\rm \overrightarrow F = G\dfrac{M_TM_S}{R^2}\overrightarrow{\mathcal u_N}}$$ $\left | \begin{array}{lll} \text{F en N}\\ \text{M en kg}\\ \text{R en m}\\ \rm G = 6,67 \cdot 10^{-11}~S.I.\end{array}\right.$

Application de la deuxième loi de Newton

Deuxième Loi de Newton : $\rm \sum \overrightarrow F = \overrightarrow F = M_T \cdot \mathcal{\overrightarrow a}$

$\rm \overrightarrow F = M_T \cdot \mathcal{\overrightarrow a} \Leftrightarrow \dfrac{G.M_TM_S}{R^2}\overrightarrow{\mathcal u_N}$ $\rm = M_T(\mathcal a_T\overrightarrow{\mathcal u_T} + \mathcal a_N\overrightarrow{\mathcal u_N})$ $\rm \Leftrightarrow \dfrac{G.M_T.M_S}{R^2}\overrightarrow{\mathcal u_N}$ $= \rm M_T\mathcal a_T\overrightarrow{\mathcal u_T} + M_T\mathcal a_N\overrightarrow{\mathcal u_N}$

Identification des composantes

Donc, par identification : $\left\{\begin{array}{lll}\rm M_T.\mathcal a_N = \dfrac{G.M_T.M_S}{R^2}\\ \rm \mathcal a_T = 0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{ll}a_{\rm N} \rm = \dfrac{G.M_S}{R^2}\\a_{\rm T} = 0\end{array}\right.$

Conséquences du mouvement

Or si $a_T = 0$ alors $\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt} = 0$ car par définition $a_T = \dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$.

Comme $\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt} = 0$ alors la norme de la vitesse est constante.

Ainsi, si la trajectoire d'un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme.

Expression de la vitesse orbitale

Comme $a_{\rm N} = \dfrac{v^2}{\rm R}$, on a donc $\dfrac{v^2}{\rm R} = \rm \dfrac{G.M_S}{R^2}$ $\Leftrightarrow$ $$\boxed{v = \rm\sqrt{\dfrac{G.M_S}{R}}}$$ $\left| \begin{array}{lll}v \text{ en } \rm m.s^{-1}\\\rm M_S \text{ en kg}\\ \text{R en m}\\ \rm G = 6,67\cdot 10^{-11}~S.I.\end{array}\right.$

Période de révolution

La période de révolution $\rm T$ est le temps nécessaire à l'objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite. La longueur $\rm L$ d'une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : $\rm L = 2 \pi R$

Donc $v = \dfrac{\rm L}{\Delta t} = \rm \dfrac{2\pi R}{T}$ donc $\rm T = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3}{GM_S}}$ en utilisant l'expression de $v$ trouvée précédemment.

EN RÉSUMÉ

Objectif

Relier les forces agissant sur un objet à son mouvement.

Pourquoi c'est important ?

Les lois de Newton permettent de :

• Expliquer comment et pourquoi un objet accélère ou ralentit.
• Calculer les trajectoires et vitesses en présence de forces.
• Analyser des situations physiques (chute, frottements, satellites, etc.)

Petit rappel

• La dynamique étudie les causes des mouvements.
• Les lois de Newton décrivent le lien entre forces et mouvement.

🔧 Les étapes pour assurer

1. Les trois lois de Newton

• Principe d'inertie

Sans force résultante, un objet au repos reste au repos et un objet en mouvement garde une vitesse constante.

• Principe fondamental de la dynamique

$$\displaystyle\sum \vec{F_{\mathrm{ext}}} = m\vec{a}$$

Où

$\vec{F_{\mathrm{ext}}}$ : forces en $\mathrm{N}$
$m$ : masse en $\mathrm{kg}$
$\vec{a}$ : accélération en $\rm m \cdot s^{-2}$

• Principe d'action-réaction

Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors B exerce sur A une force de même intensité, de même direction, mais de sens opposé.

2. Unités et rappels

• Force : elle s'exprime en newton ($\mathrm{N}$)

$$1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}$$

• Poids

$$P = mg$$

Où :

$g$ : intensité de la pesanteur. Sur Terre $g \approx 9{,}81\,\mathrm{N \cdot kg^{-1}}$
$m$ : masse en $\mathrm{kg}$

❌ On évite absolument

• Oublier les forces de frottement ou de résistance.
• Confondre masse ($\mathrm{kg}$) et poids ($\mathrm{N}$).
• Appliquer la 2ᵉ loi si l'accélération est nulle (dans ce cas la force résultante est nulle).

✅ On valide

• Identifier toutes les forces (poids, réaction du support, frottements, traction…).
• Tracer un diagramme des forces.
• Utiliser des unités cohérentes.

Le petit + à retenir

Objectif

Comprendre et utiliser les vecteur vitesse et vecteur accélération pour décrire un mouvement en physique.

Pourquoi c'est important ?

• Décrire de manière complète le mouvement d'un objet, pas seulement sa vitesse.
• Analyser des trajectoires complexes (courbes, circulaires).
• Comprendre les effets des forces sur un objet (dynamique).

Petit rappel

• Une grandeur scalaire est définie uniquement par un nombre (ex : masse, température).
• Une grandeur vectorielle est définie par :
  • Une direction : ligne de mouvement (verticale vers le bas, vers le haut, etc)
  • Un sens : vers où pointe le vecteur
  • Une norme : sa valeur
• La vitesse et l'accélération sont des vecteurs.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Vecteur vitesse

Définition :

$$\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{x}(t)}{dt}$$

• $\vec{x}(t)$ = vecteur position à l'instant $t$.
• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
• Sa norme = vitesse instantanée ($\mathrm{m/s}$).

Cas discret :

$$\vec{v}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}$$

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

• Direction : celle du mouvement.
• Sens : même sens que le déplacement.
• Norme : $\|\vec{v}\| = \dfrac{\mathrm{distance~parcourue}}{\mathrm{durée}}$

2. Vecteur accélération

Définition :

$$\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt}$$

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

• C'est la variation de la vitesse en norme, direction ou sens.
• Sa norme s'exprime en $\mathrm{m/s^2}$.

Cas discret :

$$\vec{a}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

Remarque :

Même si la norme de la vitesse reste constante, il peut y avoir une accélération si la direction change (ex. mouvement circulaire uniforme).

Exemple

Un objet se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante :

• $\vec{v}$ change de direction en permanence → $\vec{a}$ est non nul
• $\vec{a}$ pointe vers le centre du cercle → accélération centripète.

❌ On évite absolument

• Confondre vitesse (scalaire) et vecteur vitesse.
• Penser qu'il n'y a accélération que si la vitesse change en valeur (elle peut aussi changer en direction).
• Oublier les unités : $\mathrm{m/s}$ pour la vitesse, $\mathrm{m/s^2}$ pour l'accélération.

✅ On valide

• Toujours représenter $\vec{v}$ tangent à la trajectoire.
• Représenter $\vec{a}$ vers l'intérieur de la courbe pour un mouvement circulaire.
• Bien différencier la variation de norme et la variation de direction.

Le petit + à retenir