Aspects énergétiques dans un champ uniforme

Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un objet en mouvement est donnée par la formule suivante :

$\mathrm{E_c} = \dfrac{1}{2} \times \mathrm m \times v^2$

Avec :

• La masse $\rm m$ exprimée en kilogrammes $\rm(kg)$
• La vitesse $v$ exprimée en mètres par seconde $\rm(m/s)$
• L'énergie cinétique $\rm E_c$ exprimée en Joules $\rm (J)$

Énergie potentielle de pesanteur

On appelle énergie potentielle de pesanteur d'un solide $\rm S$ de masse $\rm m$ situé à l'altitude $z$ la quantité suivante.

$\color{blue}{\boxed{\color{black}{\rm E_{pp} = m.g.z}}}$ avec $\scriptstyle\left\{\begin{array}{lll}\scriptstyle\rm E_{pp} \text{ Énergie potentielle de pesanteur en joules (J)}\\ \scriptstyle\text{m Masse du solide en kilogrammes (kg)}\\ \scriptstyle z \text{ Altitude du solide en mètres (m)}\end{array}\right.$

Énergie mécanique

L'énergie mécanique, notée $\rm E_m$, d'un corps est la somme de son énergie cinétique $\rm E_c$ et son énergie potentielle de pesanteur $\rm E_{pp}$ :

$\rm E_m = E_c + E_{pp}$

Conservation de l'énergie mécanique

Au cours d'une chute sans frottements, l'énergie mécanique est constante : on dit qu'elle se conserve. La diminution de l'énergie potentielle de pesanteur est compensée par l'augmentation de l'énergie cinétique.

Théorème de l'énergie cinétique

La variation d'énergie cinétique $\rm E_c$ d'un solide entre $\rm A$ et $\rm B$ est liée au travail des forces appliquées entre $\rm A$ et $\rm B$ : c'est le théorème de l'énergie cinétique :

$\displaystyle\bf E_{c_B} - E_{c_A} = \sum W_{AB}(\vec F)$

$\dfrac{1}{2}.\mathrm m.v_{\rm B}^2 - \dfrac{1}{2}.\mathrm m.v_{\rm A}^2 = \rm\Delta E_c = \sum W_{AB}(\vec F)$ avec $\rm A$ le point de départ et $\rm B$ le point d'arrivée.

Dans le cas d'un condensateur plan

Les images suivantes illustrent le comportement énergétique dans un condensateur plan :

EN RÉSUMÉ

Objectif

Relier les forces agissant sur un objet à son mouvement.

Pourquoi c'est important ?

Les lois de Newton permettent de :

• Expliquer comment et pourquoi un objet accélère ou ralentit.
• Calculer les trajectoires et vitesses en présence de forces.
• Analyser des situations physiques (chute, frottements, satellites, etc.)

Petit rappel

• La dynamique étudie les causes des mouvements.
• Les lois de Newton décrivent le lien entre forces et mouvement.

🔧 Les étapes pour assurer

1. Les trois lois de Newton

• Principe d'inertie

Sans force résultante, un objet au repos reste au repos et un objet en mouvement garde une vitesse constante.

• Principe fondamental de la dynamique

$$\displaystyle\sum \vec{F_{\mathrm{ext}}} = m\vec{a}$$

Où

$\vec{F_{\mathrm{ext}}}$ : forces en $\mathrm{N}$
$m$ : masse en $\mathrm{kg}$
$\vec{a}$ : accélération en $\rm m \cdot s^{-2}$

• Principe d'action-réaction

Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors B exerce sur A une force de même intensité, de même direction, mais de sens opposé.

2. Unités et rappels

• Force : elle s'exprime en newton ($\mathrm{N}$)

$$1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}$$

• Poids

$$P = mg$$

Où :

$g$ : intensité de la pesanteur. Sur Terre $g \approx 9{,}81\,\mathrm{N \cdot kg^{-1}}$
$m$ : masse en $\mathrm{kg}$

❌ On évite absolument

• Oublier les forces de frottement ou de résistance.
• Confondre masse ($\mathrm{kg}$) et poids ($\mathrm{N}$).
• Appliquer la 2ᵉ loi si l'accélération est nulle (dans ce cas la force résultante est nulle).

✅ On valide

• Identifier toutes les forces (poids, réaction du support, frottements, traction…).
• Tracer un diagramme des forces.
• Utiliser des unités cohérentes.

Le petit + à retenir

Objectif

Comprendre et utiliser les vecteur vitesse et vecteur accélération pour décrire un mouvement en physique.

Pourquoi c'est important ?

• Décrire de manière complète le mouvement d'un objet, pas seulement sa vitesse.
• Analyser des trajectoires complexes (courbes, circulaires).
• Comprendre les effets des forces sur un objet (dynamique).

Petit rappel

• Une grandeur scalaire est définie uniquement par un nombre (ex : masse, température).
• Une grandeur vectorielle est définie par :
  • Une direction : ligne de mouvement (verticale vers le bas, vers le haut, etc)
  • Un sens : vers où pointe le vecteur
  • Une norme : sa valeur
• La vitesse et l'accélération sont des vecteurs.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Vecteur vitesse

Définition :

$$\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{x}(t)}{dt}$$

• $\vec{x}(t)$ = vecteur position à l'instant $t$.
• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
• Sa norme = vitesse instantanée ($\mathrm{m/s}$).

Cas discret :

$$\vec{v}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}$$

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

• Direction : celle du mouvement.
• Sens : même sens que le déplacement.
• Norme : $\|\vec{v}\| = \dfrac{\mathrm{distance~parcourue}}{\mathrm{durée}}$

2. Vecteur accélération

Définition :

$$\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt}$$

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

• C'est la variation de la vitesse en norme, direction ou sens.
• Sa norme s'exprime en $\mathrm{m/s^2}$.

Cas discret :

$$\vec{a}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

Remarque :

Même si la norme de la vitesse reste constante, il peut y avoir une accélération si la direction change (ex. mouvement circulaire uniforme).

Exemple

Un objet se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante :

• $\vec{v}$ change de direction en permanence → $\vec{a}$ est non nul
• $\vec{a}$ pointe vers le centre du cercle → accélération centripète.

❌ On évite absolument

• Confondre vitesse (scalaire) et vecteur vitesse.
• Penser qu'il n'y a accélération que si la vitesse change en valeur (elle peut aussi changer en direction).
• Oublier les unités : $\mathrm{m/s}$ pour la vitesse, $\mathrm{m/s^2}$ pour l'accélération.

✅ On valide

• Toujours représenter $\vec{v}$ tangent à la trajectoire.
• Représenter $\vec{a}$ vers l'intérieur de la courbe pour un mouvement circulaire.
• Bien différencier la variation de norme et la variation de direction.

Le petit + à retenir