Calcul numérique

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut :

• mettre les deux fractions au même dénominateur ;
• additionner ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur commun aux deux fractions.

Exemple

Le plus petit multiple commun de 10 et 4 est 20.

$\displaystyle \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3\times 2}{10\times 2} - \dfrac{1\times 5}{4\times 5}$

$= \displaystyle \frac{6}{20} - \frac{5}{20}$ $= \dfrac{1}{20}$.

Multiplication de fractions

Pour des nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ ($b$ et $d$ non nuls), on a :

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}$ = $\dfrac{a \times c}{b \times d}$ 

Inverse d’une fraction

Pour $a$ et $b$ des nombres non nuls, l’inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ est la fraction $\dfrac{b}{a}$.

Division de fractions

Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la fraction au numérateur par l’inverse de la fraction au dénominateur.

Pour des nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ ($b$, $c$ et $d$ non nuls), on a :

$\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a\times d}{b\times c}$.

Prendre la fraction d'un nombre

Prendre la fraction d'un nombre, c'est multiplier la fraction par ce nombre.

Exemple

Pour calculer les deux cinquièmes de $35$, on calcule $\dfrac{2}{5} \times 35$ avec une des trois méthodes suivantes :

• $\dfrac{2}{5} \times 35 = \dfrac{2\times 35}{5} = \dfrac{70}{5} = 14~;$
• $\dfrac{2}{5} \times 35 = 2\times \dfrac{35}{5} = 2\times 7 = 14~;$
• $\dfrac{2}{5} \times 35 = 0,4 \times 35 = 14$.

Selon les calculs, une des 3 méthodes sera plus simple que les autres.

Puissances de 10

$10^0 = 1$ ; $10^1 = 10$.
Pour tous les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ :

• $\displaystyle 10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ ;
• $\displaystyle10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ ;
• $\displaystyle \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$ ;
• $\displaystyle {(10^m)}^n = 10^{m \times n}$.

Exemples
$10^4 \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)} = 10^{2}$ ; 
${(10^3)}^2 = 10^{3 \times 2} = 10^6$ ;
$\displaystyle \frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$.

Puissances d'un nombre $a$ 

Soit $a$ un nombre non nul.
$a^0 = 1$ et $a^1 = a$.
Pour tous les nombres non nuls $a$ et $b$, et tout $m$ et $n$ nombres entiers relatifs :

• $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ;
• $a^n \times a^m = a^{m+n}$ ;
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ;
• $({a^m})^n = a^{m \times n}$ ;
• ${(a\times b)}^n = a^n \times b^n$ ;
• $\displaystyle {(\frac{a}{b})}^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Exemples

$3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ ;

$\displaystyle \frac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ ;

${(3\times 5)}^4 = 3^4 \times 5^4$.