PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 pts)
Question 1
D’après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
$\rm{P}(\overline{\rm{A}} \cap \rm{B}) = \rm{P}(\overline{\rm{A}}) \times \rm{P}_{\overline{\rm{A}}}(\rm{B}) = 0,6 \times 0,7 = 0,42.$
Réponse b.
Question 2
Dans ce lycée, le nombre d’élèves en première générale est :
$\displaystyle \dfrac{5}{3} \times 150 = 5 \times \dfrac{150}{3} = 5 \times 50 = 250.$
Réponse c.
Question 3
Pour $\rm{A} = \dfrac{1}{3}$ et $\rm{B} = \dfrac{5}{6}$, on a :
$\displaystyle \dfrac{\rm{A}}{\rm{B}} + 1 = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}} + 1 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} + 1 = \dfrac{1 \times 6}{3 \times 5} + 1 = \dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{7}{5}.$
Réponse a.
Question 4
Dans ce repère, la droite d’équation $y = \dfrac{1}{3}x + 1$ est la droite d’ordonnée à l’origine $b = 1$ ($\rm{a}$ exclus) et de coefficient directeur $a = \dfrac{1}{3}$.
Sur la droite, quand on avance de $3$ en abscisses, on monte de $1$ en ordonnées.
Réponse c.
Question 5
En utilisant une identité remarquable, on a :
$(x^3 - 1)^2 = (x^3)^2 - 2 \times x^3 \times 1 + 1^2 = x^6 - 2x^3 + 1.$
Réponse b.
Question 6
Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $20\ \%$ est $1 + \dfrac{20}{100} = 1 + 0,2 = 1,2$ et celui correspondant à une baisse de $50\ \%$ est $1 - \dfrac{50}{100} = 1 - 0,5 = 0,5$.
Le coefficient multiplicateur global est $1,2 \times 0,5 = 0,6 = 1 - 0,4 = 1 - \dfrac{40}{100}$ qui correspond à une baisse de $40\ \%$.
Réponse c.
Question 7
Le nombre d’élèves qui a plus de $16$ ans et suit la spécialité maths est : $25 - 8 - 7 - 4 = 6$.
Parmi les $6 + 4 = 10$ élèves qui ont plus de $16$ ans, $6$ suivent la spécialité maths. La probabilité recherchée est donc de $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.
Réponse d.
Question 8
Pour $x$ et $y$ deux nombres strictement positifs tels que $x = \dfrac{5}{2+y}$, on a :
$x(2 + y) = 5$ puis $2x + xy = 5$ et $xy = 5 - 2x$.
On a donc : $y = \dfrac{5-2x}{x} = \dfrac{5}{x} - 2$.
Réponse d.
DEUXIÈME PARTIE (14 POINTS)
Exercice 1 (5 points)
Partie A
1) a. $40\ \rm{cm} = 0,40\ \rm{m}$ car $100\ \rm{cm} = 1\ \rm{m}$.
Par définition, $u_1 = 1 + 0,4 = 1,4$.
1) b. $u_2 = 1,4 + 0,4 = 1,8$, donc la hauteur de l’arbre deux années après sa plantation est $1,8\ \rm{m}$.
2) Par définition, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + 0,4$.
La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r = 0,4$, et de premier terme $u_0 = 1$.
3) Pour tout entier naturel $n$, on a donc : $u_n = u_0 + n \times r = 1 + 0,4n$.
4) Soit $n$ le nombre d’années au bout duquel le mûrier atteindra $9$ mètres de haut.
On a $u_n = 9$ puis $1 + 0,4n = 9$ donc $0,4n = 9 - 1 = 8$ et $n = \dfrac{8}{0,4} = \dfrac{80}{4} = 20$.
C’est au bout de $20$ ans que le mûrier atteindra $9$ mètres de haut.
Partie B
1) Par définition, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2 \times v_n$.
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 2$, et de premier terme $v_0 = 2$.
2) a. Un an après la plantation, l’arbre a produit $4$ nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à $6$.
Deux ans après la plantation, l’arbre a produit $4 \times 2 = 8$ nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à $6 + 8 = 14$.
Trois ans après la plantation, l’arbre a produit $8 \times 2 = 16$ nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à $14 + 16 = 30$.
Remarque : il s’agit de la somme des $4$ premiers termes de la suite géométrique $(v_n)$.
2) b. La variable « total » contient au départ $v_0=2$, qui est le nombre de branches à la plantation, puis la boucle « for » lui rajoute les $10$ termes suivants de la suite géométrique $(v_n)$, qui correspondent aux nombres de branches rajoutées dans les 10 années qui suivent la plantation.
La valeur $4\ 094$ affichée par ce programme est donc le nombre total de branches que possède l’arbre dix ans après la plantation.
Exercice 2 (3 points)
1) a. $\rm{A}(-1\ ;\ 5)$ et $\rm{B(3\ ;\ 5)}$, donc $\overrightarrow{\rm{AB}}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 5 - 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\rm{AB}}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$.
$\rm{A}(-1\ ;\ 5)$ and $\rm{C}(4\ ;\ 0)$, donc $\overrightarrow{\rm{AC}}\begin{pmatrix} 4 - (-1) \\ 0 - 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\rm{AC}}\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$.
1) b. On a donc : $\overrightarrow{\rm{AB}} \cdot \overrightarrow{\rm{AC}} = 4 \times 5 + 0 \times (-5) = 20$.
2) a. $\overrightarrow{\rm{AC}}\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$ donc $\rm{AC} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}.$
De même, $\overrightarrow{\rm{AB}}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$, donc $\rm{AB} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4.$
2) b. Par définition, on a : $\overrightarrow{\rm{AB}} \cdot \overrightarrow{\rm{AC}} = \rm{AB} \times \rm{AC} \times \cos \widehat{\rm{BAC}}$.
2) c. En utilisant les valeurs numériques trouvées, on a :
$20 = 4 \times 5\sqrt{2} \times \cos \widehat{\rm{BAC}}$ donc $\cos \widehat{\rm{BAC}} = \dfrac{20}{4 \times 5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D’après les valeurs remarquables du cosinus, on a : $\widehat{\rm{BAC}} = \dfrac{\pi}{4}$.
Exercice 3 (6 points)
Tout d’abord, faites bien attention aux unités en ordonnées : 1 carreau correspond à 10 unités.
1) a. $f(1) = 20$.
1) b. $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $\rm{T}_1$ à la courbe $\rm{C}_f$ au point d’abscisse $x = 1$, c’est-à-dire aussi celui de la droite $(\rm{AB})$.
$\displaystyle f'(1) = \dfrac{y_{\rm{B}} - y_{\rm{A}}}{x_{\rm{B}} - x_{\rm{A}}} = \dfrac{10 - 20}{3 - 1} = \dfrac{-10}{2} = -5.$
1) c. L’équation réduite de la tangente $\rm{T}_1$ à la courbe $\rm{C}_f$ au point d’abscisse $x = 1$ est :
$y = f'(1)(x - 1) + f(1) = -5(x - 1) + 20 = -5x + 5 + 20 = -5x + 25.$
2) a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables (dont le dénominateur ne s’annule pas) sur cet intervalle.
Pour tout $x \in ]0\ ;\ +\infty[$, en posant $u(x) = 4x^2 + 7x + 9$ et $v(x) = x$, on a $u'(x) = 8x + 7$ et $v'(x) = 1$, et :
$\displaystyle f'(x) = \dfrac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{v^2(x)}$
$\displaystyle f'(x) = \dfrac{(8x + 7) \times x - (4x^2 + 7x + 9) \times 1}{x^2}$
$\displaystyle f'(x) = \dfrac{8x^2 + 7x - 4x^2 - 7x - 9}{x^2}$
$\displaystyle f'(x) = \dfrac{4x^2 - 9}{x^2}$
$\displaystyle f'(x) = \dfrac{(2x)^2 - 3^2}{x^2}$
$\displaystyle f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{x^2}$ en utilisant l’identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
2) b. Pour tout $x \in ]0\ ;\ +\infty[$, $2x + 3 > 0$ et $x^2 > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x - 3$.
- $\blacksquare\ f'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow 2x > 3 \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{2}$
- $\blacksquare\ f'(x) < 0 \Leftrightarrow 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow 2x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}$
- $\blacksquare\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$
2) c. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $\left]0\ ;\ \dfrac{3}{2}\right[$ et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{3}{2}\ ;\ +\infty\right[$.
$\displaystyle f\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{4 \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + 7 \times \dfrac{3}{2} + 9}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{4 \times \dfrac{9}{4} + \dfrac{21}{2} + 9}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{9 + \dfrac{21}{2} + 9}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\dfrac{18}{2} + \dfrac{21}{2} + \dfrac{18}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\dfrac{57}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{57}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{57}{3} = 19.$
On obtient le tableau de variation suivant qui n’est pas demandé :
3) Pour qu’il y ait une tangente à $\rm{C}_f$ parallèle à la droite d’équation $y = 3x + 5$, il faut déterminer s’il existe une valeur $x > 0$ telle que $f'(x) = 3$ (de même coefficient directeur).
$\displaystyle f'(x) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{x^2} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{4x^2 - 9}{x^2} = 3 \Leftrightarrow 4x^2 - 9 = 3x^2 \Leftrightarrow x^2 = 9.$
Pour $x > 0$, la seule valeur qui convient est $x = \sqrt{9} = 3$.
L’équation réduite de cette tangente à $\rm{C}_f$ au point d’abscisse $x = 3$ est :
$\displaystyle y = f'(3)(x - 3) + f(3) = 3(x - 3) + \dfrac{4 \times 3^2 + 7 \times 3 + 9}{3} = 3x - 9 + \dfrac{36 + 30}{3} = 3x - 9 + 22 = 3x + 13.$
