PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 pts)
Question 1
Pour deux nombres réels $\rm A$ et $\rm B$, si $\rm A - \rm B > 0$, alors $\rm A > \rm B$.
Réponse $\bf b.$
Question 2
$\rm C = \displaystyle \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{5}{6}$
$C= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3 \times 5}{6}$
$C= \dfrac{1}{2} + \dfrac{15}{6}$
$C= \dfrac{1\times 3}{2 \times 3}+ \dfrac{15}{6}$ en mettant les deux fractions au même dénominateur.
$C= \dfrac{18}{6} = 3$
Réponse $\bf d.$
Question 3
$\rm D = 3 \times 2^5 \times 2^3 = 3 \times 2^{5+3} = 3 \times 2^8.$
Réponse $\bf a.$
Question 4
Pour $\rm E = 999 \times 1~001$, un ordre de grandeur de $\rm E$ est $1~000 \times 1~000 = 1~000~000.$
Réponse $\bf d.$
Question 5
En utilisant une identité remarquable, on a :
$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
Réponse $\bf a.$
Question 6
L'équation $3x - 5 = x + 3$ est équivalente à $3x - x = 3 + 5 = 8$, donc à $2x = 8$ et $x = \displaystyle \frac{8}{2} = 4.$
Réponse $\bf d.$
Question 7
Dans la boîte, le nombre de chocolats au lait est : $\displaystyle \frac{40}{100} \times 60 = \frac{40 \times 60}{100} = 4 \times 6 = 24.$
Réponse $\bf b.$
Question 8
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $10 \ \%$ est $1 - \displaystyle \frac{10}{100} = 1 - 0,1 = 0,9$ et celui associé à une hausse de $20 \ \%$ est $1 - \displaystyle \frac{20}{100} = 1 - 0,2 = 0,8$.
Le coefficient multiplicateur global associé à ces deux évolutions est : $0,9 \times 0,8 = 0,72 = 1 - 0,28 = 1 - \displaystyle \frac{28}{100}$ qui est associé à une baisse de $28 \ \%$ (évolution de $-28 \ \%$).
Réponse $\bf c.$
Question 9
L'expression réduite de cette droite est de la forme $y = ax + b$, avec $a$ et $b$ deux réels.
D'après le graphique, on a :
- $b = 3$ ($\bf b$. et $\bf d$. exclus) ;
- $a = -2$ (quand on avance de $1$ en abscisses sur la droite, on descend de $2$ en ordonnées).
L'équation réduite de cette droite est : $y = -2x + 3$.
Réponse $\bf a.$
Question 10
Si $\mathrm E = \displaystyle \frac{1}{2} mv^2$, on a $mv^2 = 2 \mathrm E$ donc $v^2 = \displaystyle \frac{2 \mathrm E}{m}$.
Comme $v > 0$, on a $v = \displaystyle \sqrt{\frac{2\mathrm E}{m}}$.
Réponse $\bf a.$
Question 11
D'après le graphique, les solutions de l'équation $f(x) = 2$ sont $-2, 2$ et $3.$
$S = \{-2~ ; 2~ ; 3\}.$
Réponse $\bf b.$
Question 12
Pour la série de $3$ notes, comme pour celle de $5$ notes, la note centrale lorsqu'elles sont classées par ordre croissant est $11.$
Les médianes sont donc égales ($\bf b$. et $\bf d$. exclus).
Pour la série de $3$ notes, la moyenne est : $\displaystyle \frac{9+11+13}{3} = \frac{33}{3} = 11.$
Pour la série de $5$ notes, la moyenne est : $\displaystyle \frac{9+11+13+10+17}{5} = \frac{60}{5} = 12.$
Les deux moyennes sont donc différentes.
Réponse $\bf c.$
DEUXIÈME PARTIE (14 pts)
Exercice 1 (5 points)
Partie A : Premier modèle
1. Par définition, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + 20.$
La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r = 20$ et de premier terme $u_0 = 200.$
2. La suite $(u_n)$ étant une suite arithmétique de raison $r = 20$ et de premier terme $u_0 = 200$, on a : $u_n = u_0 + r \times n = 200 + 20n$, pour tout $n$ entier naturel.
En juin $2025$, on a $n = 6$ et $u_6 = 200 + 20 \times 6 = 320$ donc, avec ce modèle, on peut estimer qu'il y aura $320$ marmottes dans ce massif montagneux.
3. $\displaystyle \frac{355-320}{320} \times 100 = \frac{35}{320} \times 100 \approx \frac{1}{10} \times 100 \approx 10 \ \%$.
La population de marmottes est finalement environ $10 \ \%$ supérieure à ce qui était attendu avec ce modèle. Ce premier modèle ne semble donc pas être adapté à la situation.
Partie B : Second modèle
1. $\displaystyle \frac{220-200}{200} \times 100 = \frac{20}{200} \times 100 = \frac{20}{2} = 10 \ \%$.
Entre juin $2019$ et juin $2020$, la population de marmottes a augmenté de $10 \ \%$.
2. a. Par définition, puisqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant par $1,1$, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1,1$ et son premier terme est $v_0 = 200$.
2. b. Par définition, pour tout entier naturel $n$, $v_n = v_0 \times q^n = 200 \times 1,1^n.$
3. a. En juin $2025$, on a $n = 6$ et $v_6 = 354$ d'après le tableur.
Selon ce modèle, on estime qu'il y a $354$ marmottes en juin $2025$.
3. b. Avec ce modèle, le nombre obtenu $(354)$ est très proche du décompte $(355)$, donc le modèle semble pertinent.
3. c. D'après le tableur, le nombre de marmottes dépasse $400$ pour $n = 8$, donc en juin $2027$, car $2019 + 8 = 2027.$
Exercice 2 (5 points)
1. Parmi les $200$ adhérents de cette salle de sport, $100$ sont des femmes.
On a donc :
$\rm P(F) = \displaystyle \frac{100}{200} = \frac{1}{2} = 0,5.$
2. Parmi les $200$ adhérents de cette salle de sport, $20$ sont des hommes qui pratiquent le step.
On a donc :
$\rm P(H \cap S) = \displaystyle \frac{20}{200} = \frac{1}{10} = 0,1.$
3. Il s'agit de déterminer la probabilité que l'adhérent soit une femme qui pratique le step.
Parmi les $200$ adhérents de cette salle de sport, $60$ sont des femmes qui pratiquent le step.
On a donc :
$\rm P(F \cap S) = \displaystyle \frac{60}{200} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3.$
4. D'après le 1., $\rm P(F) = 0,5.$
Parmi les $200$ adhérents de cette salle de sport, $80$ font du step, donc : $\rm P(S) = \displaystyle \frac{80}{200} = \frac{8}{20} = \frac{4}{10} = 0,4$.
On a $\rm P(F \cap S) = 0,3$ et $\rm P(F) \times P(S) = 0,5 \times 0,4 = 0,2$, donc $\rm P(F \cap S) \neq P(F) \times P(S).$
Les évènements $\rm F$ et $\rm S$ ne sont pas indépendants.
5. Il s'agit de calculer $\rm P_F(C)$.
Parmi les $100$ femmes adhérentes, $40$ pratiquent le crossfit.
On a donc : $\rm P_F(C) = \displaystyle \frac{40}{100} = 0,4.$
6. Parmi les $120$ adhérents qui pratiquent le crossfit, $40$ sont des femmes.
On a donc :
$\rm P_C(F) = \displaystyle \frac{40}{120} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Exercice 3 (4 points)
1. a. Graphiquement, $f(3) = 5$.
1. b. Graphiquement, $f'(-1) = 4$ (coefficient directeur de la tangente à la courbe $\rm C_f$ au point d'abscisse $x = -1$).
2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[-2~ ; 4]$ et, pour tout $x \in [-2~; 4]$, on a : $f'(x) = -2x + 2.$
2. b. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow -2x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{2}{2} = 1.$
$f'(x) = -2x + 2$ est l'expression d'une fonction affine de coefficient directeur $a = -2 < 0$, donc strictement décroissante.
On obtient donc le tableau de signe suivant pour la fonction $f'$ :
3. $f(-2) = -(-2)^2 + 2 \times (-2) + 8 = -4 - 4 + 8 = 0.$
$f(1) = -1^2 + 2 \times 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9.$
$f(4) = -4^2 + 2 \times 4 + 8 = -16 + 8 + 8 = 0.$
On obtient donc le tableau de variation suivant pour la fonction $f$ :
$f$ atteint un maximum de $9$ en $x = 1$.
