PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 pts)
Question 1
$A = 4 - 2 \times \dfrac{1}{3} = 4 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3}$
Réponse b.
Question 2
$B = 2 \times 5^2 + 3 = 2 \times 25 + 3 = 50 + 3 = 53.$
Réponse b.
Question 3
$25\ \%$ de $250$ est égal à : $\dfrac{25}{100} \times 250 = \dfrac{1}{4} \times 250 = \dfrac{250}{4} = \dfrac{125}{2} = 62{,}5.$
Réponse a.
Question 4
Une baisse de $15\ \%$ est associée au coefficient multiplicateur $1 - \dfrac{15}{100} = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$.
Pour obtenir le prix de cet article après la baisse, il faut faire le calcul : $300 \times 0{,}85$.
Réponse b.
Question 5
La droite $(\rm{AB})$ est la droite d’ordonnée à l’origine $b = 2$ et de coefficient directeur $a = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5$.
Son équation réduite est donc $y = -0{,}5x + 2$.
Réponse d.
Question 6
Pour $x = -1$, on a $2x^2 - 3x - 4 = 2 \times (-1)^2 - 3 \times (-1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1.$
Réponse d.
Question 7
En utilisant une identité remarquable, on a :
$(x - 4)^2 = x^2 - 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16.$
Réponse a.
Question 8
L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x) \geq 3$ est $\rm{S} = [-5\ ; \ 2]$.
Réponse c.
Question 9
L’équation $(2x + 4)(-3x - 9) = 0$ est équivalente à $2x + 4 = 0$ ou $-3x - 9 = 0$,
donc à $2x = -4$ ou $3x = -9$, puis à $x= -\dfrac{4}{2}=-2$ ou $x =-\dfrac{9}{3}=-3.$
$S = \{-3~ ; -2\}.$
Réponse d.
Question 10
Si on a $F=G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{R^2}$, on a $F \times R^2=G \times m_1 \times m_2$ et $m_1=\dfrac{F \times R^2}{G \times m_2}.$
Réponse b.
Question 11
D’après l’arbre pondéré, on a : $P_{\bar{A}}(\bar{B})=0,6.$
Réponse d.
Question 12
D’après l’arbre pondéré et la formule de la probabilité de l’évènement contraire, on a :
$P_A(\bar{B})=1-P_A(B)=1-0,3=0,7.$
Réponse d.
DEUXIÈME PARTIE (14 points)
Exercice 1 (5 points)
1. Parmi les $1\ 000$ clients sondés, $900$ sont satisfaits.
La probabilité qu’un client soit satisfait est donc : $P(S) = \dfrac{900}{1\ 000} = 0{,}9$.
2. La probabilité de l’événement $S \cap I$ est : $P({S} \cap {I}) = \dfrac{720}{1\ 000} = 0{,}72$.
Si on choisit au hasard un client, la probabilité qu’il ait acheté son billet par internet et qu’il soit satisfait est $0{,}72$.
3. Parmi les $900$ clients satisfaits, $720$ ont acheté leur billet par internet.
On a donc $P_{S}(I) = \dfrac{720}{900} = \dfrac{72}{90} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8.$
4. Parmi les $1\ 000$ clients sondés, $800$ ont acheté leur billet par internet.
On a donc $P(I) = \dfrac{800}{1\ 000} = 0{,}8$, puis $P(I) \times P(S) = 0{,}8 \times 0{,}9 = 0{,}72$.
On a $P(S \cap I) = \dfrac{720}{1\ 000} = 0{,}72$, donc $P(S \cap I) = P(I) \times P(S)$.
Les deux événements $I$ et $S$ sont donc indépendants.
5. Parmi les $200$ clients qui ont acheté leur billet en agence, $180$ sont satisfaits, c’est-à-dire :
$\dfrac{180}{200} \times 100 = 180 \times \dfrac{100}{200} = 180 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{180}{2} = 90\ \%.$
Le service marketing de la compagnie aérienne a donc raison.
Exercice 2 (4 points)
1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0\ ; \ 10]$ en tant que polynôme de degré $3$.
Pour tout $x \in [0\ ; \ 10]$, $f'(x) = -3x^2 + 4{,}5 \times 2x - 6 = -3x^2 + 9x - 6.$
2. Pour tout $x \in [0\ ; \ 10]$, $(3x - 6)(1 - x) = 3x - 3x^2 - 6 + 6x = -3x^2 + 9x - 6 = f'(x).$
3. Pour tout $x \in [0\ ; \ 10]$, $f'(x) = (3x - 6)(1 - x) = 3(x - 2)(1 - x).$
Dressons un tableau de signe pour connaître le signe de $f'$ sur l’intervalle $[0\ ; \ 10]$.
L’expression $x - 2$ s’annule en $x = 2$ et $a = 1 > 0$ donc la droite associée « monte ».
L’expression $1 - x$ s’annule en $x = 1$ et $a' = -1 < 0$ donc la droite associée « descend ».
$f'(x) < 0$ sur les intervalles $[0\ ; \ 1]$ et $[2\ ; \ 10]$, et $f'(x) > 0$ sur l’intervalle $[1\ ; \ 2].$
4. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur les intervalles $[0\ ; \ 1]$ et $[2\ ; \ 10]$, et strictement croissante sur l’intervalle $[1\ ; \ 2]$.
On obtient le tableau de variation suivant qui n’est pas demandé :
$f(0) = -0^3 + 4{,}5 \times 0^2 - 6 \times 0 + 2 = 2$
$f(1) = -1^3 + 4{,}5 \times 1^2 - 6 \times 1 + 2 = -1 + 4{,}5 - 6 + 2 = -0{,}5$
$f(2) = -2^3 + 4{,}5 \times 2^2 - 6 \times 2 + 2 = -8 + 18 - 12 + 2 = 0$
$f(10) = -10^3 + 4{,}5 \times 10^2 - 6 \times 10 + 2 = -1\ 000 + 450 - 60 + 2 = -608$
Exercice 3 (5 points)
1. Par définition, $\rm{B}_1 = 900 - 10 = 890$.
Le nombre d’adhérents à ce club de basketball en $2026$ est de $890$.
2. Par définition, pour tout $n$ entier naturel, $B_{n+1} = B_n - 10$.
La suite $(B_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = -10$ et de premier terme $B_0 = 900$.
Pour tout $n$ entier naturel, on a : $B_n = B_0 + n \times r = 900 - 10n$.
3. En $2035$, $n = 10$ et $B_{10} = 900 - 10 \times 10 = 900 - 100 = 800$, donc le club aura perdu $100$ adhérents.
$10\ \%$ de $900$ est égal à $\dfrac{10}{100} \times 900 = 10 \times \dfrac{900}{100} = 10 \times 9 = 90$ adhérents.
En perdant $100$ adhérents entre $2025$ et $2035$, le club aura donc perdu plus de $10\ \%$ de ses adhérents.
4. Graphiquement, le nombre d’adhérents au club de handball en $2028$ est d’environ $350$.
5. Par définition, la suite $(H_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1{,}2$, et de premier terme $H_0 = 200$.
6. En remarquant que le club de basketball perd seulement $10$ adhérents par an, on peut commencer à comparer les deux suites à partir de $n = 7$.
$B_7 = 900 - 10 \times 7 = 900 - 70 = 830$ et graphiquement, $H_7 \approx 710$, donc $B_7 > H_7$.
$B_8 = 900 - 10 \times 8 = 900 - 80 = 820$ et graphiquement, $H_8 \approx 860$, donc $B_8 < H_8$.
La suite $(B_n)$ étant décroissante et la suite $(H_n)$ étant croissante, à partir de $n = 8$, donc de l’année $2033$, le nombre d’adhérents au club de handball sera supérieur à celui du club de basketball.
