PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 pts)
Question 1
$\displaystyle \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3 \times 4}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{12}{2} = \dfrac{1+12}{2} = \dfrac{13}{2}$
Réponse B.
Question 2
Si la partie visible d'un iceberg est de $150 ~\rm{ km}^3$ et que le volume de cette partie visible est d'environ $10~\%$ de son volume total, son volume total est de $10 \times 150 = 1\,500~ \rm{ km}^3$.
Réponse B.
Question 3
Pour le coefficient multiplicateur $0,845$, on a : $0,845 = 1 - 0,155 = 1 - \dfrac{15,5}{100}.$
Il est donc associé à une baisse de $15,5\%$.
Réponse D.
Question 4
Pour tout $x$ réel, $A(x) = (x + 5)(x + 8)$.
Les valeurs qui annulent la fonction $A$ sont $x = -8$ et $x = -5$ (B et D exclus).
$A$ est un polynôme du second degré avec $a = 1 > 0$, donc la parabole qui le représente est orientée vers le haut. Le tableau de signe qui convient est donc celui de la proposition C.
Nous aurions aussi pu calculer $A(0) = 5 \times 8 = 40 > 0$ (A exclu).
Réponse C.
Question 5
Parmi les $5$ lettres du mot SINGE, $2$ sont des voyelles.
On a donc : ${P_M}(V) = \displaystyle \dfrac{2}{5}.$
Réponse B.
Question 6
L'expression de $f$ est de la forme $f(x) = ax + b$, avec $a$ et $b$ deux réels.
D'après le graphique, on a :
- $b = 30$ (B exclu) ;
- $a = -10$ (faire attention aux unités : quand on avance de $1$ en abscisse sur la droite, on descend de $10$ en ordonnée).
On a donc $f(x) = -10x + 30.$
Réponse C.
Question 7
Pour tout $x$ réel en utilisant des identités remarquables, on a :
$(x + 2)^2 - (1 - x)^2 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 - (1 - 2 \times 1 \times x + x^2)$
$= x^2 + 4x + 4 - (1 - 2x + x^2)$
$= x^2 + 4x + 4 - 1 + 2x - x^2$
$= 6x + 3.$
On peut aussi utiliser l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.
Réponse B.
Question 8
L'équation $2(x - 4) - (2x + 1) = 0$ est équivalente à $2x - 8 - 2x - 1 = 0$, donc à $-9 = 0.$
C'est impossible.
Réponse C.
Question 9
$E = \displaystyle \dfrac{2 \times 3^2}{27 \times 2^3} = \dfrac{2 \times 3^2}{3^3 \times 2^2}$
$= \dfrac{1}{3 \times 2^2}$
$= \dfrac{1}{12},$ en simplifiant par $2$ et $3^2$.
Réponse B.
DEUXIÈME PARTIE (14 pts)
Exercice 1 (6 points)
Partie A
1. D'après l'énoncé, on a : ${P}(R_1) = {P}_{R_1}(R_2) = \displaystyle \dfrac{1}{1+9} = \dfrac{1}{10} = 0,1.$
On en déduit l'arbre pondéré complété suivant :
2. a. Le joueur dépense $1~€$ pour jouer à ce jeu et les récompenses sont de $3~€$, $1~€$ ou $0~€$.
La valeur aléatoire $X$ prend donc les valeurs $-1$, $0$ et $2$ (en $€$).
2. b. ${P}(X = -1)$ est la probabilité de perdre $1~€$ à ce jeu, donc de ne pas avoir de récompense, c'est-à-dire de tirer deux boules de couleurs différentes.
${P}(X = -1) = {P}(R_1 \cap \overline R_2) + {P}(\overline R_1 \cap R_2)$
$= {P}(R_1) \times {P}_{R_1}(\overline R_2) + {P}(\overline R_1) \times {P}_{\overline R_1}(R_2)$
$= 0,1 \times 0,9 + 0,9 \times 0,1$
$= 0,09 + 0,09$
$= 0,18.$
2. c. On a aussi :
- ${P}(X = 0) = {P}(\overline R_1 \cap \overline R_2)$
$= {P}(\overline R_1) \times {P}_{\overline R_1}(\overline R_2)$
$= 0,9 \times 0,9$
$= 0,81.$ - ${P}(X = 2) = {P}(R_1 \cap R_2)$
$= {P}(R_1) \times \rm{P}_{R_1}(R_2)$
$= 0,1 \times 0,1$
$= 0,01.$
On obtient donc la loi de probabilité suivante pour la variable aléatoire $X$ :
| $k$ | $-1$ | $0$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| ${P}(X = k)$ | $0,18$ | $0,81$ | $0,01$ |
On vérifie que : $0,18 + 0,81 + 0,01 = 1$.
2. d. L'espérance de $X$ est donc :
${E}(X) = -1 \times {P}(X = -1) + 0 \times {P}(X = 0) + 2 \times {P}(X = 2)$
${E}(X) = -1 \times 0,18 + 0 \times 0,81 + 2 \times 0,01$
${E}(X) = -0,18 + 0,02 = -0,16$.
Lorsque l'on joue un grand nombre de fois à ce jeu, on peut « espérer » perdre $0,16~€$ en moyenne par partie. Le jeu est favorable au forain.
Partie B
1. Soit $n$ un entier naturel tel que $0 \leq n \leq 10$.
En reprenant les raisonnements de la partie précédente :
- ${P}(Y = -1) = \displaystyle \dfrac{n}{10} \times \dfrac{10-n}{10} + \dfrac{10-n}{10} \times \dfrac{n}{10} = \dfrac{n(10-n)}{100} + \dfrac{n(10-n)}{100} = \dfrac{n(10-n)}{50}.$
- ${P}(Y = 0) = \displaystyle \dfrac{10-n}{10} \times \dfrac{10-n}{10} = \dfrac{(10-n)^2}{100}.$
- ${P}(Y = 2) = \displaystyle \dfrac{n}{10} \times \dfrac{n}{10} = \dfrac{n^2}{100}.$
L'espérance de $Y$ est donc :
${E}(Y) = -1 \times {P}(Y = -1) + 0 \times {P}(Y = 0) + 2 \times {P}(Y = 2)$
${E}(Y) = \displaystyle -1 \times \dfrac{n(10-n)}{50} + 0 \times \dfrac{(10-n)^2}{100} + 2 \times \dfrac{n^2}{100}$
${E}(Y) = \displaystyle \dfrac{-2n(10-n)}{100} + \dfrac{2n^2}{100}$
${E}(Y) = \displaystyle \dfrac{-20n + 2n^2 + 2n^2}{100}$
${E}(Y) = \displaystyle \dfrac{4n^2 - 20n}{100}.$
2. Pour que le jeu soit favorable entre le joueur et le forain, il faut que $\rm{E}(Y) = 0$.
${E}(Y) = 0 \Leftrightarrow \displaystyle \dfrac{4n^2 - 20n}{100} = 0 \Leftrightarrow 4n^2 - 20n = 0 \Leftrightarrow n(4n - 20) = 0$
${E}(Y) = 0 \Leftrightarrow n = 0 \text{ ou } 4n - 20 = 0 \Leftrightarrow n = 0 \text{ ou } 4n = 20 \Leftrightarrow n = 0 \text{ ou } n = \displaystyle \dfrac{20}{4} = 5.$
Le jeu est donc équitable entre le joueur et le forain, lorsque l'urne contient $5$ boules rouges (et $5$ boules vertes) ou bien, même si c'est trivial, aucune boule rouge (et $10$ boules vertes).
Exercice 2 (4 points)
Partie A
1. Il s'agit de déterminer graphiquement $f(11) : f(11) \approx 6$.
À $11 \rm{ h}$, la puissance électrique produite par les panneaux solaires est d'environ $6\rm ~kW$.
2. Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x) \geq 5$ sont les valeurs de l'intervalle $[10,5~; 15,5]$.
Entre $10 \rm{~h \ 30}$ et $15 \rm{ ~h \ 30}$, c'est-à-dire pendant $5$ heures, la puissance électrique produite par les panneaux solaires est supérieure ou égale à $5~ \rm{ kW}$.
Partie B
1. Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $6~\%$ est : $1 + \displaystyle \dfrac{6}{100} = 1 + 0,06 = 1,06$.
D'après l'énoncé, pour tout $n$ entier naturel, $c_{n+1} = 1,06 \times c_n$.
La suite $(c_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 1,06$.
2. La suite $(c_n)$ étant une suite géométrique de raison $q = 1,06$ et de premier terme $c_0 = 0,15$, on a : $c_n = c_0 \times q^n = 0,15 \times 1,06^n$, pour tout $n$ entier naturel.
3. En $2030$, on a $n = 10$ et $c_{10} = 0,15 \times 1,06^{10}$
$(\approx 0,27~€$ lorsque l'on dispose d'une calculatrice).
4. a. Dans le contexte de l'énoncé :
- la variable $c$ est le prix annuel (en $\rm{€}$) du kilowattheure consommé au tarif réglementé année après année.
- la variable $s$ est la somme cumulée sur plusieurs années, qui correspond aux $2\,000 ~\rm{ kWh}$ annuels non consommés.
4. b. Le programme retourne le nombre d'années au bout duquel la somme économisée en électricité avec les panneaux solaires dépasse le prix de leur installation.
D'après l'énoncé, c'est pour $n = 16$.
C'est donc en $2036$ que la somme économisée en électricité dépasse le prix de l'installation des panneaux solaires.
Exercice 3 (4 points)
1. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = (4x - 4)\mathrm e^{-0,5x} + 5$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, en posant $u(x) = 4x - 4$ et $v(x) = \mathrm e^{-0,5x}$, on a $u'(x) = 4$ et
$v'(x) = -0,5\mathrm e^{-0,5x}$, et :
$f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)$ car la dérivée d'une constante est nulle
$f'(x) = 4 \times \mathrm e^{-0,5x} + (4x - 4) \times (-0,5\mathrm e^{-0,5x})$
$f'(x) = 4 \times \mathrm e^{-0,5x} - (2x - 2) \times \mathrm e^{-0,5x}$
$f'(x) = (4 - 2x + 2)\mathrm e^{-0,5x}$
$f'(x) = (-2x + 6)\mathrm e^{-0,5x}$
2. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\mathrm e^{-0,5x} > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-2x + 6$.
- $f'(x) > 0 \Leftrightarrow -2x + 6 > 0 \Leftrightarrow 6 > 2x \Leftrightarrow x < \displaystyle \dfrac{6}{2} = 3~;$
- $f'(x) < 0 \Leftrightarrow -2x + 6 < 0 \Leftrightarrow 6 < 2x \Leftrightarrow x > \displaystyle \dfrac{6}{2} = 3~;$
- $f'(x) = 0 \Leftrightarrow -2x + 6 = 0 \Leftrightarrow 6 = 2x \Leftrightarrow x = \displaystyle \dfrac{6}{2} = 3.$
La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty~; 3]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[3~; +\infty[$.
$f(3) = (4 \times 3 - 4)\mathrm e^{-0,5 \times 3} + 5 = 8\mathrm e^{-1,5} + 5$ donc on en déduit le tableau de variation suivant :
3. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet des points d'abscisse $x$ pour lesquels la tangente est horizontale lorsque $f'(x) = 0$, donc lorsque $x = 3$, donc au point de coordonnées $(3~; 8\rm e^{-1,5} + 5)$.
