On veut résoudre $\alpha(x)y'+\beta(x) y = \gamma(x)$.
- $\rm 1^{ère}$ étape : On met éventuellement l'équation sous forme résolue c'est-à-dire le coefficient devant $y'$ est égal à $1$. On détermine le ou les intervalles de résolution.
Sur un intervalle sur lequel la fonction $x \mapsto \alpha(x)$ ne s'annule pas, l'équation à résoudre est équivalente en divisant par $\alpha(x)$ :
$(\mathrm E) : y'+a(x) y =b(x)$ (avec $\displaystyle{a(x) = \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}}$ et $\displaystyle{b(x) = \frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}}$).
- $\rm 2^{ème}$ étape : On résout $(\mathrm E_0) : y'+a(x)y=0$, l'équation homogène associée, sur chaque intervalle de résolution $\mathrm I$. Les solutions de $(\mathrm E_0)$ sont données par $x \in \mathrm I \mapsto \lambda \mathrm e^{-\int a(x) {\rm d}x}$ avec $\lambda$ une constante réelle.
- $\rm 3^{ème}$ étape : On cherche une solution particulière de $(\mathrm E)$. Trois possibilités :
- La solution particulière est évidente.
- On utilise le principe de superposition des solutions. Si le second membre est compliqué et se décompose en $\lambda_1 b_1(x) + \lambda_2 b_2(x)$ alors le principe de superposition des solutions nous dit que si $y_1$ est une solution de l'équation $(\mathrm E_1): y'+a(x) y =b_1(x)$ et $y_2$ est une solution de l'équation $(\mathrm E_2): y'+a(x) y =b_2(x)$ alors la fonction $x \mapsto \lambda_1 y_1(x) + \lambda_2 y_2(x)$ est une solution de l'équation $(\mathrm E)$.
- On utilise la méthode de variation de la constante qui consiste à chercher une solution particulière de $(\mathrm E)$ sous la forme $y(x) = \mu(x)y_0(x)$ avec $y_0(x)$ une solution de $(\mathrm E_0)$. On a alors $\displaystyle{\mu = \int \frac{b(x)}{y_0(x)} {\rm d}x}$.
- $\rm 4^{ème}$ étape : On écrit l'ensemble des solutions de $(\mathrm E)$. La théorie nous dit que les solutions de $(\mathrm E)$ s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de $(\mathrm E_0)$ et une solution particulière de $(\mathrm E)$.
Exemple : résoudre l'équation $(2+\cos(x))y' + \sin(x) y = (2+\cos(x))\sin(x)$. Comme $2+\cos(x)$ ne s'annule jamais on peut diviser par cette expression: $\displaystyle{(E) : y' + \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} y = \sin(x)}$. On va donc résoudre sur ${\Bbb R}$.
L'$\rm EDHA$ est $\displaystyle{(\mathrm E_0) : y' + \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} y = 0}$.
Les solutions sont du type $y_0(x) = \lambda \mathrm e^{-\mathrm A(x)}$ avec $\displaystyle{A(x) = \int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} {\rm d}x = -\ln(2+\cos(x))}$.
On a donc $\displaystyle{y_0(x) = \lambda \exp(\ln(2+\cos(x))) = \lambda(2+\cos(x))}$.
On cherche une solution particulière avec la $\rm MVC$. On choisit $y_0(x) = 2+\cos(x)$. On cherche ensuite une solution particulière $y_p$ de $\rm (E)$ sous la forme $y_p = \mu y_0$ avec $\mu$ une fonction dérivable inconnue.
D'après le cours, on a $\displaystyle{\mu(x) = \int \frac{b(x)}{y_0(x)} {\rm d}x= \int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} {\rm d}x = -\ln(2+\cos(x))}$.
Donc $y_p(x) = -(2+\cos(x))\ln(2+\cos(x))$.
Finalement, toutes les solutions de $(E)$ sont $x \in \mathbb R \mapsto - (2+\cos(x))\ln(2+\cos(x)) + \lambda(2+\cos(x))$.
