Les Classes Préparatoires aux Grandes Écoles (CPGE)

La croissance économique

• Définition : hausse de la richesse (PIB pour un pays) sur une période significative
• Comment mesurer toute la richesse ? Problème : économie informelle, domestique, illégale…
• Depuis XIXe siècle, succession de phases de croissance et de phases de crise
• Parfois croissance économique, mais moins rapide que croissance démographique
• Indicateurs mesurant les inégalités d’accès à la croissance : indice Gini, déciles

Le développement

• Indicateurs mesurant le développement (IDH) ou son absence (IPH)
• Longtemps, on parle de « sous-développement », vu comme un retard
• Ensuite, « pays sous-développés » deviennent « pays en voie de développement »
• Durant guerre froide, réflexion sur les modèles de développement
• 1971 : ONU crée la catégorie des PMA
• XXIe siècle : apparition de la notion de « pays émergents »

On veut résoudre $\alpha(x)y'+\beta(x) y = \gamma(x)$. 

• $\rm 1^{ère}$ étape : On met éventuellement l'équation sous forme résolue c'est-à-dire le coefficient devant $y'$ est égal à $1$. On détermine le ou les intervalles de résolution.

Sur un intervalle sur lequel la fonction $x \mapsto \alpha(x)$ ne s'annule pas, l'équation à résoudre est équivalente en divisant par $\alpha(x)$ : 

$(\mathrm E) : y'+a(x) y =b(x)$ (avec $\displaystyle{a(x) = \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}}$ et $\displaystyle{b(x) = \frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}}$). 

• $\rm 2^{ème}$ étape : On résout $(\mathrm E_0) : y'+a(x)y=0$, l'équation homogène associée, sur chaque intervalle de résolution $\mathrm I$. Les solutions de $(\mathrm E_0)$ sont données par $x \in \mathrm I \mapsto \lambda \mathrm e^{-\int a(x) {\rm d}x}$ avec $\lambda$ une constante réelle.

• $\rm 3^{ème}$ étape : On cherche une solution particulière de $(\mathrm E)$. Trois possibilités :
• La solution particulière est évidente.
• On utilise le principe de superposition des solutions. Si le second membre est compliqué et se décompose en $\lambda_1 b_1(x) + \lambda_2 b_2(x)$ alors le principe de superposition des solutions nous dit que si $y_1$ est une solution de l'équation $(\mathrm E_1): y'+a(x) y =b_1(x)$ et $y_2$ est une solution de l'équation $(\mathrm E_2): y'+a(x) y =b_2(x)$ alors la fonction $x \mapsto \lambda_1 y_1(x) + \lambda_2 y_2(x)$ est une solution de l'équation $(\mathrm E)$. 
• On utilise la méthode de variation de la constante qui consiste à chercher une solution particulière de $(\mathrm E)$ sous la forme $y(x) = \mu(x)y_0(x)$ avec $y_0(x)$ une solution de $(\mathrm E_0)$. On a alors $\displaystyle{\mu = \int \frac{b(x)}{y_0(x)} {\rm d}x}$. 

• $\rm 4^{ème}$ étape : On écrit l'ensemble des solutions de $(\mathrm E)$. La théorie nous dit que les solutions de $(\mathrm E)$ s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de $(\mathrm E_0)$ et une solution particulière de $(\mathrm E)$.

Exemple : résoudre l'équation $(2+\cos(x))y' + \sin(x) y = (2+\cos(x))\sin(x)$. Comme $2+\cos(x)$ ne s'annule jamais on peut diviser par cette expression: $\displaystyle{(E) : y' + \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} y = \sin(x)}$. On va donc résoudre sur ${\Bbb R}$.

L'$\rm EDHA$ est $\displaystyle{(\mathrm E_0) : y' + \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} y = 0}$.

Les solutions sont du type $y_0(x) = \lambda \mathrm e^{-\mathrm A(x)}$ avec $\displaystyle{A(x) = \int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} {\rm d}x = -\ln(2+\cos(x))}$.

On a donc $\displaystyle{y_0(x) = \lambda \exp(\ln(2+\cos(x))) = \lambda(2+\cos(x))}$. 

On cherche une solution particulière avec la $\rm MVC$. On choisit $y_0(x) = 2+\cos(x)$. On cherche ensuite une solution particulière $y_p$ de $\rm (E)$ sous la forme $y_p = \mu y_0$ avec $\mu$ une fonction dérivable inconnue.
D'après le cours, on a $\displaystyle{\mu(x) = \int \frac{b(x)}{y_0(x)} {\rm d}x= \int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} {\rm d}x = -\ln(2+\cos(x))}$.

Donc $y_p(x) = -(2+\cos(x))\ln(2+\cos(x))$.

Finalement, toutes les solutions de $(E)$ sont $x \in \mathbb R \mapsto - (2+\cos(x))\ln(2+\cos(x)) + \lambda(2+\cos(x))$.

Dans le mythe de la genèse, c'est par les mots que Dieu crée les différents êtres. Les mots, dans une telle perspective, seraient dotés d'un pouvoir à nul autre pareil : la parole divine serait performative au sens qu'Austin donne à ce concept dans Quand Dire, c'est Faire. Il n'en va pas de même de la parole humaine ; l'impuissance des mots apparaît comme l'horizon inéluctable du langage des hommes : impuissance à créer, cela va sans dire, mais aussi impuissance, plus simplement, à dire le monde.
Les éléments du monde et sa richesse échapperaient au langage, qui ne parviendrait à les saisir que de manière imparfaite, toujours transitoire, sans en épuiser la richesse. Le pouvoir des mots humains ne serait que relatif. Une telle impuissance du langage est-elle impuissance par accident ou par nature ?