Définition

Deux triangles sont semblables si les trois angles de l'un sont égaux aux trois angles de l'autre.

Cette figure géométrique illustre la similitude entre deux triangles, ABC et DEF, disposés côte à côte. Les sommets des triangles sont clairement nommés et des couleurs de remplissage distinctes (bleu clair et vert pâle) aident à différencier les deux polygones. L'égalité des angles correspondants est matérialisée par des arcs colorés annotés par les lettres grecques alpha (α) et bêta (β) aux sommets A, D (pour alpha) et B, E (pour bêta). Le titre en haut de l'image explicite la relation de similitude ABC ~ DEF basée sur l'égalité des angles.

Propriétés

Si deux triangles sont semblables, les trois longueurs de l'un sont proportionnelles aux trois longueurs de l'autre.

Réciproquement, si les trois longueurs d'un triangle sont proportionnelles aux trois longueurs d'un autre, les deux triangles sont semblables.

Dans ce cas, un des deux triangles est un agrandissement de l'autre triangle.

Exemple

Soit deux triangles $ABC$ et $DEF$.

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Pour savoir s'ils sont semblables, vérifions si les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles.

Calculons les trois quotients :
$\dfrac{7,5}{5} = 1,5$
$\dfrac{9}{6}= 1,5$ ;
$\dfrac{10,5}{7} = 1,5.$

Les trois quotients sont égaux, les côtés correspondants sont proportionnels. Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont donc semblables.
Le triangle $DEF$ est un agrandissement du triangle $ABC$ de coefficient $k = 1,5.$

Remarques

  • Dans les configurations de Thalès, quand les hypothèses du théorème sont vérifiées, les triangles sont des triangles semblables.
  • Un triangle et son image par une symétrie (axiale ou centrale), une translation, une rotation ou une homothétie sont des triangles semblables.

EN RÉSUMÉ