Multiples et diviseurs

$4 \times 9 = 36$

On dit que $36$ est un multiple de $4$.
$36$ est également multiple de $9$.

Un multiple d’un nombre, c’est le résultat d’une multiplication.

Exemple

Les multiples de $4$ sont : $4$, $8$, $12$, $16$, $20$, $24 \dots$
car $4 \times 1 = 4$, $4 \times 2 = 8$, $4 \times 3 = 12 \dots$

On dit que :
$20$ est un multiple de $4$ car $4 \times 5 = 20$
$22$ n’est pas un multiple de $4$ car $4 \times 5 = 20$ et $5 \times 5 = 25$

Remarque : On trouve les multiples dans les résultats des tables de multiplication.

Un multiple commun est un nombre qui est un multiple de deux nombres en même temps.

Exemple

Cherchons les multiples communs de $4$ et $6$.

Multiples de $4$ :
$4$ ; $8$ ; $12$ ; $16$ ; $20$ ; $24$ ; $28$ ; $32$ ; $\dots$

Multiples de $6$ :
$6$ ; $12$ ; $18$ ; $24$ ; $30$ ; $36$ ; $\dots$

-> Les multiples communs sont : $12$, $24$, $36 \dots$

Le plus petit multiple commun est $12$.

1. Définition

$36 \div 9 = 4$

$36 \div 4 = 9$

On dit que $9$ et $4$ sont des diviseurs de $36$.

Un diviseur d’un nombre est un nombre qui le partage exactement, sans reste.

Exemple

$5$ est un diviseur de $20$ car $20 \div 5 = 4$
$6$ n’est pas un diviseur de $20$ car $20 \div 6 = 3$, reste $2$

On peut dire aussi que :

• $20$ est divisible par $5$.
• $20$ n’est pas divisible par $6$.

2. Chercher tous les diviseurs d’un nombre

Si on cherche à déterminer tous les diviseurs de $12$ par exemple :

Les diviseurs de $12$ sont :

• $1 \rightarrow (12 \div 1 = 12)$
• $2 \rightarrow (12 \div 2 = 6)$
• $3 \rightarrow (12 \div 3 = 4)$
• $4 \rightarrow (12 \div 4 = 3)$
• $6 \rightarrow (12 \div 6 = 2)$
• $12 \rightarrow (12 \div 12 = 1)$

Les diviseurs de $12$ sont : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$.

Comment trouver tous les diviseurs ?

1. Commence toujours par $1$ : il est diviseur de tous les nombres.
2. Essaie ensuite $2$, $3$, $4 \dots$ jusqu’au nombre lui-même.
3. Garde uniquement les nombres qui divisent exactement.
4. Le nombre est toujours diviseur de lui-même.

Remarque

• Tous les nombres ont au moins deux diviseurs : $1$ et eux-mêmes.
• Certains nombres n’ont que deux diviseurs : on les appelle nombres premiers ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$).

3. Diviseur commun

Un diviseur commun est un nombre qui est un diviseur de deux nombres à la fois.

Exemple

Cherchons les diviseurs communs de $12$ et $18$.

• Diviseurs de $12$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $12$
• Diviseurs de $18$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $18$

Les diviseurs communs sont : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$.

Comment faire ?

1. Cherche tous les diviseurs du premier nombre.
2. Cherche tous les diviseurs du deuxième nombre.
3. Compare les deux listes.
4. Les nombres présents dans les deux listes sont les diviseurs communs.

Remarque

• Le nombre $1$ est toujours un diviseur commun.
• Il peut y avoir plusieurs diviseurs communs.