Mathématiques appliquées (S2)

Asymptote horizontale 

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $\pm \infty$ est finie (un réel $k$). L'asymptote horizontale $a$ alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.

Asymptote verticale

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $k$ (une valeur interdite) est infinie ($\pm \infty$). L'asymptote verticale a alors pour équation $x = k$.

Limites de fonctions usuelle

• Fonction carrée : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$
• Fonction cube : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$ 
• Fonction inverse : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ 
• Fonction logarithme népérien : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x)$ = $-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +∞} \ln(x) = +\infty$ 
• Fonction exponentielle : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ 

Composée de limites

Pour $a$, $b$ et $l$ des nombres réels, $-\infty$ ou $+\infty$ : si $\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b$ et $\displaystyle\lim_{y \to b} f(y) = l$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a} f(u(x))= l$.

1) Dérivée d'une fonction en un point. 

Soit $f$ une fonction et $a$ un réel. On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si le quotient (appelé taux d'accroissement ou taux de variation) $\displaystyle{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ tend vers une limite finie $L$ lorsque $h$ tend vers $0$. Cette limite se note $f'(a)$ et s'appelle le nombre dérivée de $f$ en $a$. 

La droite d'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ est l'équation de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point de coordonnées $(a,f(a))$. 

Exemple.

Considérons la fonction $f(x)=x^2$ et montrons qu'elle est dérivable en $a=3$. 

Le taux de variation de $f$ est $\displaystyle{\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2-3^2}{h} = 6+h}$ qui tend vers $6$ lorsque $h$ tend vers $0$. Donc la fonction $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3)=6$. 

2) Dérivée sur tout un intervalle

Une fonction $f$ est dérivable sur tout un intervalle de ${\Bbb R}$ si elle dérivable en tout point de cette intervalle. 

Exemple.

On peut montrer que la fonction précédente, $f(x)=x^2$, est dérivable en tout point $a$ réel et que $f'(a)=2a$. On dit ainsi que $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}$ et on définit une nouvelle fonction appelée la fonction dérivée $f'(x)=2x$. 

3) Le signe de la dérivée d'une fonction $f$ permet d'obtenir les variations de $f$.

Si $f' \ge 0$ sur un intervalle $I$ alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f' \le 0$ sur un intervalle $I$ alors $f$ est décroissante sur $I$.

Exemple : la fonction $f(x)=x^2$ est croissante sur $]0,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty,0[$ car $f'(x)=2x$ est positive sur $]0,+\infty[$ et négative sur $]-\infty,0[$.

4) Dérivée partielle

Soit $f$ une fonction de plusieurs variables. Par exemple :

\[f(x,y,z) = 2x+xyz - 2xe^{x^2+yz}.\]

On fixe les variables $y$ et $z$ c'est-à-dire on les considère comme constante. On obtient une fonction de la variable $x$ :

\[a(x) = 2x+xyz - 2xe^{x^2+yz}.\]

La dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x$, notés $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$, est $a'(x)$ autrement dit c'est la dérivée de $f$ lorsqu'on considère $y$ et $z$ comme des constantes.

Exemple avec $f$ précédent.

\[\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} = 2+yz -2e^{x^2+yz}-2x(2x)e^{x^2+yz}} \\\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}=2+yz -2e^{x^2+yz} -4x^2 e^{x^2+yz}},\]

\[\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y} = xz - 2xze^{x^2+yz}}\text{ et }\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z} = xy - 2xye^{x^2+yz}}.\]

5) Différentielle

La formule de Taylor-Young pour les fonctions d'une variable se généralise aux fonctions de plusieurs variables par la formule suivante :

\[\displaystyle{f(x_1+dx_1,\ldots,x_n+dx_n) \approx f(x_1,\ldots,x_n) +\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1
+\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n.}\]

Les $dx_i$ représente une petite variation de la variable $x_i$. 

La quantité $\displaystyle{df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n}$ s'appelle la différentielle de $f$ et permet de mesurer la variation d'une grandeur $f$ lorsqu'on les variables
sont modifiés de façon infinitésimale : 

\[\displaystyle{\Delta(x_1,\ldots,x_n) = f(x_1+dx_1,\ldots,x_n+dx_n) - f(x_1,\ldots,x_n) \approx df.}\]

6) Calcul d'incertitude

On montre que lorsqu'une quantité $g$ dépend de plusieurs autres grandeurs $l_1, \ldots, l_n$ par une relation mathématique du genre $g = f(l_1,\ldots,l_n)$ alors l'incertitude des mesures des grandeurs $l_i$ notée $u(l_i)$ se transmet à l'incertitude globale $u(g)$ sur $g$ par la formule :

\[\displaystyle{u(g) = \sqrt{\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial l_i}\right)^2 u^2(l_i)}.}\]

Par exemple, on considère la grandeur $C_2$ qui dépend des grandeurs $V_1$, $V_2$ et $C_1$ par la relation $\displaystyle{C_2 = \frac{V_1}{V_2}C_1 = f(V_1,C_1,V_2)}$. Ici la fonction $f$ est $\displaystyle{f(x,y,z) = \frac{x}{z}y}$.

Calculons les dérivées partielles de $f$ :

\[\begin{array}{lll}\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial V_1} = \frac{C_1}{V_2}},\\ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial C_1} = \frac{V_1}{V_2}}\\
\text{et}\\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial V_2} = -\frac{C_1V_1}{V_2^2}.}\end{array}\]

L'incertitude sur $C_2$ est :

\[u(C_2) =\\ \displaystyle{
\sqrt{
\left(\frac{\partial f}{\partial V_1}\right)^2u(V_1)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial C_1}\right)^2u(C_1)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial V_2}\right)^2 u(V_2)^2}.}\]

Donc :

\[\displaystyle{u(C_2) = \sqrt{\frac{C_1^2}{V_2^2}u(V_1)^2 + \frac{V_1^2}{V_2^2}u(C_1)^2 + \frac{C_1^2V_1^2}{V_2^4}u(V_2)^2 }.}\]

En générale, seule l'incertitude relative est pertinente: $\displaystyle{\frac{U(C_2)}{C_2}}$. Sachant que $\displaystyle{C_2 = \frac{V_1}{V_2}C_1}$, on obtient après calcul :

\[\displaystyle{\frac{u(C_2)}{C_2} = \sqrt{\frac{u(V_1)^2}{V_1^2} + \frac{u(V_2)^2}{V_2^2} + \frac{u(C_1^2)}{C_1^2}}.}\]

But des développements limités (en abrégé d.l) : on cherche à approcher une fonction au voisinage d'un point par une fonction polynomiale. 

Définition :

Soit $f$ une fonction définie au voisinage d'un réel $a$. La fonction $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ en $a$ s'il existe des réels $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$ et une fonction $\epsilon$ tels que :

$f(x) = a_0 + a_1(x-a)+\ldots+a_n(x-a)^n+ (x-a)^n\epsilon(x)$ avec $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\epsilon(x)=0}$.

Remarque :

Un développement limité à l'ordre $1$ correspond à approcher la courbe $y=f(x)$ par sa tangente d'équation $y=f(a) + f'(a)(x-a)$.
En fait, il suffit de connaître les d.l en $0$. En effet, posons $h=x-a$ et $g(h) = f(x) = f(a+h)$. Effectuer le d.l de $f$ en $a$ revient à faire le d.l de $g$ en $0$. 

D.l usuels à connaître en $0$ :

$\displaystyle{\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \ldots + (-1)^nx^n + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\ln(1+x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{n!} + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots+\frac{(-1)^px^{2p}}{(2p)!} + x^{2p}\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots+\frac{(-1)^px^{2p+1}}{(2p+1)!} + x^{2p+1}\epsilon(x)}$

$\alpha$ étant un réel quelconque. 

$\displaystyle{(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\ldots +
 \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + x^n\epsilon(x)}$

Opérations sur les d.l :

On peut faire toutes les opérations sur les d.l. (combinaisons linéaires, produit, quotient, composée). Lorsqu'on fait les calculs, on ne garde que les termes de degré $\le n$.
Exemple : calculer le d.l de $f(x) = \cos(x)\sin(x)$ à l'ordre $4$. On a :

$\displaystyle{f(x) = \left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} + x^4\epsilon_1(x)\right)\times\left(x-\frac{x^3}{3!} + x^4\epsilon_2(x)\right)}$.

Lorsqu'on développe, on ne garde que les termes de degré $\le 4$ soit :

$\displaystyle{f(x) = x - \frac{2}{3}x^3 + \epsilon(x) x^4}$.

Applications : calcul de limite

Exemple : calculer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}\right)}$. Notons $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}}$. On calcule tout d'abord la somme des deux fractions :

$\displaystyle{f(x) = \frac{x^2-x\ln(1+x)}{x^3}}$. 

Effectuons le d.l du numérateur à l'ordre $3$ : 

$\displaystyle{x^2 -x\ln(1+x) = x^2-x(x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + x^3\epsilon(x)) = \frac{x^3}{2} + x^3\epsilon_1(x)}$.

Donc $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{2} + \epsilon_1(x)}$ donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\frac{1}{2}}$.

Intégration par parties :

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et si les dérivées de $u$ et $v$ sont continues sur $I$ alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ on a :

$ \displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)dx$

Remarque : On choisit le plus souvent pour fonction $u$ les fonctions logarithmiques puis les fonctions polynômes, qui seront donc dérivées.
L’intégration par parties sera donc par exemple utilisée pour intégrer un produit polynôme-exponentielle, un produit polynôme-fonction trigonométrique ou un produit polynôme-logarithme.

Théorème du changement de variables :

$ \displaystyle\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\times \phi'(t)dt$ en posant $ x=\phi(t)$ avec $a=\phi(\alpha)$, $b=\phi(\beta)$.