Mécanique - Dynamique du solide

Dérivation d’un vecteur par rapport au temps :

On appelle vecteur position d’un point $\rm M$ par rapport à un repère cartésien $\mathrm R_{1}=(\mathrm O_{1},\overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{y_{1}},\overrightarrow{z_{1}})$ le vecteur qui lie le point $\mathrm M$ à l’origine (fixe) du repère $\mathrm R_{1} : \overrightarrow{\mathrm O_{1}\mathrm M}$ $=x(t)\overrightarrow{x_{1}}+y(t)\overrightarrow{y_{1}}+z(t)\overrightarrow{z_{1}}$. Le vecteur vitesse par rapport au repère $\mathrm R_{1}$ s’écrit : 

$\overrightarrow{\rm V_{M/R_{1}}}$ $\displaystyle = \left(\frac{d\overrightarrow{\mathrm O_{1}\mathrm M}}{dt} \right)_{\mathrm R_{1}}$ $= \dot{x}(t)\overrightarrow{x_{1}}+\dot{y}(t)\overrightarrow{y_{1}} + \dot{z}(t)\overrightarrow{z_{1}}$. 

On considère maintenant un repère cartésien $\mathrm R_{2}=(\mathrm O_{2}=\mathrm O_{1},\overrightarrow{x_{2}},\overrightarrow{y_{2}},\overrightarrow{z_{2}})$ en rotation par rapport au repère $\mathrm R_{1}$ autour de l’axe $\overrightarrow{z_{1}}=\overrightarrow{z_{2}}$ :

On définit le vecteur vitesse de rotation de $\mathrm R_{2}$ par rapport à $\mathrm R_{1}$ :

$\overrightarrow{\Omega_{\mathrm R_{2}/\mathrm R_{1}}} = \dot{\theta}(t) \overrightarrow{z_{1}}$.

La formule de Bour permet d’exprimer la dérivée d’un vecteur dans une base par rapport à une base mobile :

$\displaystyle \left(\frac{d\overrightarrow{\mathrm O_{1}\mathrm M}}{dt}\right)_{\mathrm R_{1}}$ $\displaystyle =\left(\frac{d\overrightarrow{\mathrm O_{1}\mathrm M}}{dt}\right)_{\mathrm R_{2}} + \overrightarrow{\Omega_{\mathrm R_{2}/\mathrm R_{1}}} \wedge \overrightarrow{\mathrm O_{1}\mathrm M}$

Si on définit un troisième repère mobile $\mathrm R_{3}$ on peut montrer la formule de composition des vitesses de rotation :

$\overrightarrow{\Omega_{\mathrm R_{3}/\mathrm R_{1}}}$ $=\overrightarrow{\Omega_{\mathrm R_{3}/\mathrm R_{2}}}+\overrightarrow{\Omega_{\mathrm R_{2}/\mathrm R_{1}}}$

Cinématique du solide :

Soit $\mathrm A$ un point d’un solide indéformable lié à un repère $\mathrm R_{1}$ en mouvement par rapport à un repère $\mathrm R_{0}$. La vitesse de ce point $\mathrm A$ peut être reliée à la vitesse d’un point $\mathrm B$ par la formule de Varignon :

$\rm \overrightarrow{V_{B,R_{1}/R_{0}}}$ $\rm =\overrightarrow{V_{A,R_{1}/R_{0}}} + \overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R_{0}}}$

Comme pour le vecteur vitesse de rotation, on a la formule de composition en vitesse en un même point $\mathrm A$ :

$\rm \overrightarrow{V_{A,R_{3}/R_{1}}}$ $\rm = \overrightarrow{V_{A,R_{3}/R_{2}}} + \overrightarrow{V_{A,R_{2}/R_{1}}}$

Cinématique du contact :

Soient $2$ solides $\mathrm S$ et $\mathrm S’$ en contact au point $\mathrm I$, Soit $\mathrm R_{0}$ un repère fixe. On définit la vitesse de glissement par : $\rm \overrightarrow{V_{I,S/S’}}$ $\rm = \overrightarrow{V_{I,S/R_{0}}} - \overrightarrow{V_{I,S’/R_{0}}}$.

Lorsqu’il y a roulement sans glissement on a $\rm \overrightarrow{V_{I,S/S’}} = \vec{0}$.

Caractéristiques de géométrie des masses :

Centre d’inertie pour un ensemble de masses ponctuelles : Soient $\mathrm M_{1},\ldots ,\mathrm M_{n}$ des points de l’espace auxquels on associe respectivement les masses $m_{1},\ldots ,m_{n}$. Par définition le centre d’inertie $\mathrm G$ de cet ensemble de points est défini par $m_{1}\overrightarrow{\mathrm M_{1}\mathrm G}+\dots + m_{n}\overrightarrow{\mathrm M_{n}\mathrm G} = \vec{0}$.

Pour un solide $\mathrm S$ de forme donnée, le centre d’inertie $\mathrm G$ est défini par $\displaystyle \int_{\mathrm S}\overrightarrow{\rm MG}dm = \vec{0}$.

On définit le moment d’inertie comme la résistance à mettre en rotation un solide. Le moment d’inertie dépend de la masse du solide et de sa géométrie.

Pour un mouvement de translation, l’inertie n’est autre que la masse du solide. Plus le solide est lourd, plus il est dur de lui faire appliquer un mouvement de translation rectiligne.

Matrice d’inertie :

Soit $\overrightarrow{\rm OM} = (x,y,z)$ le vecteur position du point $\mathrm M$ dans le solide $\mathrm S$ homogène de masse volumique $\rho$. On définit la matrice d’inertie en $\mathrm O$ par :

Si $\mathrm G$ est le centre de gravité du solide $\mathrm S$ défini par le vecteur $\overrightarrow{\rm OG}=(a,b,c)$, alors $\rm \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GM}$. On associe à $\rm \overrightarrow{OM}$ la matrice d’inertie $\rm I(O,S)$ et à $\rm \overrightarrow{GM}$ la matrice d’inertie $\rm I(G,S)$. Le théorème de Huygens permet alors de lier les $2$ matrices d’inertie :

Torseur cinétique :

Soit $\mathrm S$ un solide de masse $m$ et de centre de gravité $\mathrm G$, on peut définir un torseur cinétique en tout point $\mathrm M$ du solide $\mathrm S$ par rapport au repère $\mathrm R$ :

Le moment cinétique $\rm \overrightarrow{\sigma_{A,S/R}}$ respecte la formule de Varignon :

$\rm \overrightarrow{\sigma_{A,S/R}}$ $=\overrightarrow{\sigma_{\rm B,S/R}}+\overrightarrow{AB} \wedge m\overrightarrow{\rm V_{G,S/R}}$

De plus il est possible de montrer que $\rm \overrightarrow{\sigma_{A,S/R}}$ $= \overrightarrow{\rm AG} \wedge m\overrightarrow{\rm V_{A,S/R}} + \rm I(A,S)\overrightarrow{\Omega_{S/R}}$. Si $\mathrm A$ est fixe ou confondu avec $\mathrm G$ l’écriture du moment cinétique est simplifiée.

Torseur dynamique :

Soit $\mathrm S$ un solide de masse $m$ et de centre de gravité $\mathrm G$, on peut définir un torseur dynamique en tout point $\mathrm M$ du solide $\mathrm S$ par rapport au repère $\mathrm R$ :

$\rm \overrightarrow{\Gamma_{G,S/R}}$ est l’accélération du point $\mathrm G$ appartenant à $\mathrm S$ par rapport au repère $\mathrm R$.

Le moment dynamique $\rm \overrightarrow{\delta_{A,S/R}}$ respecte la formule de Varignon :

$\rm \overrightarrow{\delta_{A,S/R}}$ $=\overrightarrow{\delta_{\rm B,S/R}}+\overrightarrow{\rm AB} \wedge m\overrightarrow{\Gamma_{\rm G,S/R}}$.

De plus $\displaystyle \overrightarrow{\delta_{\rm A,S/R}} = \frac{d\overrightarrow{\sigma_{\rm A,S/R}}}{dt}+m\overrightarrow{\rm V_{A,S/R}} \wedge \overrightarrow{\rm V_{G,S/R}}$.

Principe Fondamental de la dynamique (PFD) :

Le $\rm PFD$ s'applique de la même manière que le $\rm PFS$, sauf que le second membre n'est pas nul. En détail :

1. Isoler un solide ou ensemble de solides.
2. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à l’isolement, les traduire sous forme de torseurs (ne pas oublier le point d’application de chaque torseur).
3. Appliquer la formule de Varignon et ramener tous les torseurs au point correspondant à la liaison avec le plus d’inconnues.
4. Pour chaque solide contenu dans l'ensemble isolé, calculer le torseur dynamique en un point, puis les écrire au même point que les torseurs des actions mécaniques.
5. Par le $\rm PFD$ la somme des torseurs des actions mécaniques au point choisi est égal à la somme des torseurs dynamiques en ce même point.