Fonctions logarithmes et exponentielles

Fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien $x \mapsto \ln(x)$ est définie, continue, dérivable sur l'intervalle $]0~ ; +∞[$. Pour tout $x\in ]0~ ; +∞[$, $\ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~; +∞[$.

$\ln(1) = 0$ et $\ln(x) <0$ pour $x\in ]0~; 1[$ et $\ln(x) > 0$ pour $x\in ]1~; +∞[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~ ; +∞[$.

Propriétés

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

• $\ln (a\times b) = \ln(a) + \ln(b)$  
• $\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$  
• $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$  
• $\ln(a^n) = n\ln(a)$ ($n$ entier relatif)  
• $\frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$

Représentation graphique

Le logarithme décimal

Définition

Le logarithme décimal, notée $\log_{10}$, est la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_+^*$ par :

$$\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$$

Propriétés algébriques

Les propriétés fondamentales du logarithme décimal sont les suivantes :

$\log(1) = 0$ ; $\log(10) = 1$

Pour tout $a$ et $b$ réels strictement positifs, et $n\in \mathbb{Z}$ :

• $\log(a\times b) = \log(a) + \log(b)$
• $\log(\frac{1}{b}) = -\log(b)$
• $\log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)$
• $\log(a^n) = n\log(a)$

Pour $a = 10$, nous avons la propriété particulière : $\log(10^n) = n\log(10) = n$.

Représentation graphique

La courbe représentative du logarithme décimal présente les caractéristiques suivantes :

Fonction exponentielle

Définition et propriétés générales

La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto e^x$. Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.

La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés fondamentales

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$$e^a = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

• $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ ;
• $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ ;
• $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ ;
• ${(e^a)}^n = e^{na}$ ($n$ entier relatif).

Dérivée de la fonction $x\mapsto e^{ax}$, $a$ réel

Pour tout nombre réel $a$, la dérivée de la fonction $x\mapsto e^{ax}$ sur l'ensemble des nombre réels est la fonction $x\mapsto a e^{ax}$.

Fonctions exponentielles avec paramètre k

Définition générale

Pour k > 0 un nombre réel fixé, nous étudions deux types de fonctions exponentielles :

• La fonction $t \mapsto e^{kt}$
• La fonction $t \mapsto e^{-kt}$

Fonction $t \mapsto e^{kt}$ (k > 0)

La fonction $t \mapsto e^{kt}$ est définie sur l'ensemble des nombres réels. Elle présente les caractéristiques suivantes :

• Strictement croissante sur $\mathbb{R}$
• Représente une croissance exponentielle
• Positive sur tout son domaine de définition

Fonction $t \mapsto e^{-kt}$ (k > 0)

La fonction $t \mapsto e^{-kt}$ est également définie sur l'ensemble des nombres réels. Ses propriétés sont :

• Strictement décroissante sur $\mathbb{R}$
• Représente une décroissance exponentielle
• Positive sur tout son domaine de définition

Représentations graphiques

Les graphiques suivants illustrent le comportement de ces deux fonctions exponentielles :