Calcul intégral

Primitive

Toute fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ admet une primitive $F$.

Définition d'une primitive

Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ est la fonction définie par : pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

Ensemble des primitives

L'ensemble des primitives de la fonction $f$ sur $I$ est composé des fonctions définies sur $I$ par $F(x) + k$ avec $k$ un nombre réel.

Primitives usuelles

Intégrale

On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$) et on note $F$ une de ses primitives. On a :

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

Propriétés

Pour $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $[a~; b]$ ($a < b$) et un réel $k$ :

Linéarité de l'intégrale :

• $$\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$$
• $$\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$$

Aire sous une courbe

Soit $f$ une fonction positive et dérivable sur l'intervalle $[a~ ; b]$.

L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est $\int_{a}^{b} f(x) dx$ (en unités d'aire).