I. Définition et écritures

Un nombre rationnel est un nombre que l'on peut écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs. L'ensemble des nombres rationnels se note $\mathbb{Q}$.

Propriétés des écritures

Quels que soient les entiers relatifs $a$, $b$, et $k$ :

  • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}$ (multiplication du numérateur et dénominateur par un même nombre)
  • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \div k}{b \div k}$ (division du numérateur et dénominateur par un même nombre)
  • $\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$ (règle des signes)

II. Opérations dans $\mathbb{Q}$

Quels que soient les entiers relatifs $a$, $b$, $c$ et $d$ :

Addition et soustraction

  • Même dénominateur : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}$ et $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b}$ avec $b \neq 0$
  • Dénominateurs différents : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times d+c \times b}{b \times d}$ et $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times d-c \times b}{b \times d}$ avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$

Multiplication et division

  • Multiplication : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times c}{b \times d}$
  • Division : $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ avec $b \neq 0$, $c \neq 0$ et $d \neq 0$

III. Valeur absolue

Soit $a$ un nombre rationnel, la valeur absolue de $a$ se définit par :

  • $|a|=a$ si $a$ est positif
  • $|a|=-a$ si $a$ est négatif

Propriétés de la valeur absolue

Quels que soient les nombres rationnels $a$ et $b$ :

  • $|a \times b|=|a| \times |b|$
  • $\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$
  • $|a|=|b|$ si et seulement si $a=b$ ou $a=-b$

IV. Comparaison

Quels que soient les entiers relatifs $a$, $b$, $c$ et $d$ :

Égalité de fractions

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ si et seulement si $a \times d=b \times c$ avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$

Propriétés de l'égalité

  • Si $a=b$ alors $a+c=b+c$ et $a-c=b-c$
  • Si $a=b$ alors $a \times c=b \times c$ et $a \div c=b \div c$

Propriétés des inégalités

  • Si $a \leqslant b$ alors $a+c \leqslant b+c$ et $a-c \leqslant b-c$
  • Si $a \leqslant b$ et $c$ positif alors $a \times c \leqslant b \times c$ et $a \div c \leqslant b \div c$
  • Si $a \leqslant b$ et $c$ négatif alors $a \times c \geqslant b \times c$ et $a \div c \geqslant b \div c$

EN RÉSUMÉ