Triangles

Les triangles usuels et leurs principales propriétés

Classification des triangles selon leurs côtés

Les triangles peuvent être classés selon la longueur de leurs côtés.

Un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur et trois angles égaux de $60^{\circ}$.

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur et deux angles égaux à la base. 

Classification des triangles selon leurs angles

Selon leurs angles, on distingue plusieurs types de triangles.

Un triangle rectangle possède un angle droit ($90^{\circ}$).

S'il est également isocèle (de sommet le sommet de l'angle droit), c'est un triangle rectangle isocèle.

Somme des angles dans un triangle

La somme des angles d'un triangle est toujours égale à $180^{\circ}$. 

Théorème de Pythagore

Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$, on a  : ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Application

Dans un triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$, on a $\mathrm{AB = 3 \:cm}$ et $\mathrm{BC = 5\: cm}$.

Calculons $\mathrm{AC}$  :

D'après le théorème de Pythagore, on a ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.
$5^2 = 3^2 + {\mathrm{AC}}^2$
donc
${\mathrm{AC}}^2 = 25 - 9 = 16$
puis
$\mathrm{AC = \sqrt{16} = 4 \:cm}$.

Théorème de Thalès

Soient A, M et B trois points alignés et A, N et C trois autres points alignés dans le même ordre.

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a :

$$\rm \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.$$

Cosinus d'un angle

Définition du cosinus

Dans le triangle $\rm ABC$ rectangle en $\rm A$, on a :

$$\rm \cos \hat{B} = \frac{côté~adjacent~à~\hat{B}}{hypoténuse} = \frac{AB}{BC}$$

ou aussi

$$\rm \cos \hat{C} = \frac{côté~adjacent~à~\hat{C}}{hypoténuse} = \frac{AC}{BC}.$$

Condition d'utilisation

Attention : pour pourvoir utiliser les formules de trigonométrie, il faut bien s'assurer que le triangle est rectangle.