Fractions

Simplification de fractions, fractions égales

Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers, $b$ non nul et $k$ un nombre entier non nul, on a  :

$$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k} .$$

Exemples

• $\dfrac{21}{15} = \dfrac{7\times 3}{5\times 3} = \dfrac{7}{5}$ en simplifiant par $3$.
• Pour compléter l'égalité de fractions $\dfrac{7}{4} = \dfrac{...}{20}$, on remarque que $20 = 5\times 4$ et que $5\times 7 = 35$. On a donc $\dfrac{7}{4} = \dfrac{35}{20}$.

Comparaison de fractions

Pour comparer des fractions, il faut  :

• mettre les fractions au même dénominateur, si elles n'y sont pas déjà ;
• comparer les numérateurs des fractions qui sont au même dénominateur.

Exemple

Pour comparer les fractions $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{11}{20}$, on les met au même dénominateur : ici, $20 = 5\times 4.$ 

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3\times 4}{5\times 4} = \dfrac{12}{20} > \dfrac{11}{20}$

car $12 > 11$.

Addition et soustraction de deux fractions 

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut :

• mettre les deux fractions au même dénominateur ;
• additionner ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur commun.

Exemple

$$\displaystyle \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \displaystyle \frac{3\times 2}{2\times 2} - \frac{1}{4} = \displaystyle \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$

Prendre la fraction d'un nombre

Prendre la fraction d'un nombre, c'est multiplier la fraction par ce nombre.

Exemple

Pour calculer les deux cinquièmes de $35$, on calcule $\dfrac{2}{5} \times 35$ avec une des trois méthodes suivantes :

• $\dfrac{2}{5} \times 35 = \dfrac{2\times 35}{5} = \dfrac{70}{5} = 14~;$
• $\dfrac{2}{5} \times 35 = 2\times \dfrac{35}{5} = 2\times 7 = 14~;$
• $\dfrac{2}{5} \times 35 = 0,4 \times 35 = 14$.

Selon les calculs, une des 3 méthodes sera plus simple que les autres.