Écritures littérales

Équation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut trouver la valeur ou les valeurs pour laquelle/lesquelles l'égalité entre les deux membres est vraie.

Exemple

Résolvons l'équation :

$$x+3=7$$

On cherche la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie.
On soustrait $3$ aux deux membres :

$$\begin{gathered} x+3-3=7-3 \\ x=4 \end{gathered}$$

Vérification :

$$4+3=7$$

L'égalité est vraie. La solution de l'équation est donc : $x=4$

Équation produit

Pour résoudre une équation-produit, on utilise la propriété « un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul ».

$(ax + b)\times(cx + d) = 0$ équivaut à $ax + b = 0$ ou $cx + d = 0$.

Les solutions de l'équation produit sont donc les solutions de chacune de ces équations du premier degré à une inconnue.

Exemple

Résolvons l'équation :

$$(x-2)(x+5)=0$$

Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
On résout donc les deux équations :

$$x-2=0 \quad \text { ou } \quad x+5=0$$

D'où :

$$x=2 \quad \text { ou } \quad x=-5$$

Les solutions de l'équation sont donc :

$$x=2 \quad \text { ou } \quad x=-5$$

EN RÉSUMÉ

Développement

Formule de simple distributivité

Pour tous les nombres $a$, $b$ et $k$, nous avons les formules suivantes :

$$k\times (a + b) = k \times a + k \times b$$

$$(a + b) \times k = a \times k + b \times k$$

Ces formules permettent de distribuer la multiplication sur l'addition.

Exemple

$5(x+2)=5 \times x+ 5 \times 2 = 5x + 10$

Formule de double distributivité

Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, nous avons :

$$(a + b)\times(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$$

Après le développement, on regroupe les termes semblables puis on range les termes selon les puissances décroissantes de $x$. On dit alors que l'expression est réduite et ordonnée.

Exemple

$\begin{gathered}(x-2)(x+3)=x \times x+x \times 3-2 \times x-2 \times 3 \\ =x^2+3 x-2 x-6 \\ (x-2)(x+3)=x^2+x-6\end{gathered}$

Factorisation

Factoriser une expression, c'est transformer une somme en un produit de facteurs. Cette opération est l'inverse du développement.

On peut, par exemple, utiliser la formule de simple distributivité dans l'autre sens pour effectuer une factorisation.

Exemples

• Factoriser $3 x+6$

Le facteur commun est $3$.

D'où $3 x+6=3(x+2)$

• Factoriser $(x-1)(x+4)+(x-1)(2 x-3)$

Le facteur commun est $(x-1)$
On factorise :
$\begin{gathered}(x-1)(x+4)+(x-1)(2 x-3) \\ =(x-1)[(x+4)+(2 x-3)] \\ =(x-1)(3 x+1)\end{gathered}$
Donc :
$(x-1)(x+4)+(x-1)(2 x-3)=(x-1)(3 x+1)$

EN RÉSUMÉ

Identité remarquable : différence de deux carrés

Formule fondamentale

Pour $a$ et $b$ deux nombres :

$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$

Applications de la formule

Cette formule permet de développer une expression, mais elle permet aussi de factoriser une expression qui est la différence de deux nombres ou expressions au carré.

La différence de deux carrés $a^2 - b^2$ peut toujours être factorisée sous la forme $(a - b)(a + b)$.

EN RÉSUMÉ

Définition

La racine carrée du nombre positif $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Par définition, $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = {\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$.

Exemples

$\sqrt 25 = 5$ car $5^2=25$
$\sqrt 81 = 9$ car $9^2=81$

Équation $x^2 = a$, $a \geq 0$

Les solutions de l'équation $x^2 = a$ ($a$ positif) sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Exemple

Résolvons : $x^2=16$
Comme $\sqrt {16}=4$, les solutions de cette équation sont $x = 4$ et $x=-4$.
En effet, $4^2=16$ et $(-4)^2=16$

EN RÉSUMÉ

En partenariat avec

 

Objectif

Savoir développer correctement une expression à l'aide de la distributivité simple ou double.

Pourquoi c'est important ?

Le développement permet de :

• Transformer un produit en somme ou différence,
• Simplifier les expressions pour les calculs ou les équations,
• Préparer les calculs avant la factorisation

⚠️ Attention à ne pas oublier de terme !

Petit rappel

La distributivité permet de distribuer la multiplication sur l'addition ou la soustraction.

🔧 Les étapes pour assurer

1. La simple distributivité

Formule générale :

$k(a + b) = k \times a + k \times b$

$k(a - b) = k \times a - k \times b$

Exemple

$2(x + 1) = 2x + 2 \times 1 = 2x + 2$

$2(x - 1) = 2x - 2 \times 1 = 2x - 2$

2. La double distributivité

Quand on multiplie deux parenthèses, on applique la distributivité deux fois.
C'est aussi ce qu'on appelle la double distributivité.

Formule générale :

$(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

On multiplie chaque terme de la première parenthèse avec chaque terme de la deuxième.

Exemple

$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x \times 3 + 2 \times x - 2 \times 3 = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

❌ On évite absolument

• Oublier un produit lors de la double distributivité
• Se tromper de signe en multipliant
• Oublier de réduire l'expression finale

✅ On valide

• Multiplier chaque terme sans en oublier un seul
• Respecter les signes (+ et –) : attention au signe – devant une parenthèse !
• Réduire les termes semblables à la fin

Le petit + à retenir

 

Objectif

Savoir transformer une somme en produit pour simplifier les expressions et résoudre des équations.

Pourquoi c'est important ?

La factorisation est utile pour :

• Simplifier des expressions complexes,
• Résoudre des équations (mettre $= 0$ puis utiliser le produit nul),
• Mettre en évidence des identités remarquables.

⚠️ Factoriser, c'est l'opération inverse du développement.

Petit rappel

Factoriser = mettre une expression sous forme de produit.

Exemple
$2x + 8 = 2(x + 4)$
On a mis $2$ en facteur.

🔧 Les étapes pour assurer

1. Factorisation simple : mettre en évidence un facteur commun

Méthode

Étape 1 : Repérer le facteur commun à tous les termes
Étape 2 : Le mettre devant une parenthèse
Étape 3 : Écrire ce qu'il reste dans la parenthèse

Exemple
$2x + 2 = 2(x + 1)$

2. Factorisation avec une identité remarquable

Si l'expression correspond à l'une des trois identités remarquables, on peut la factoriser directement.

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Exemples
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$

3. Factorisation par regroupement de termes

Quand il n'y a pas de facteur commun unique, on peut :

Étape 1 : Regrouper les termes par deux
Étape 2 : Mettre en facteur dans chaque groupe
Étape 3 : Puis mettre en facteur ce qui reste

Exemple
$ax + ay + bx + by$
$= a(x + y) + b(x + y) \rightarrow$ on regroupe les termes,

puis $= (a + b)(x + y) \rightarrow$ on met $(x + y)$ en facteur.

❌ On évite absolument

• Oublier de mettre la parenthèse
• Se tromper de signe en sortie de facteur
• Croire qu'on peut factoriser une somme comme on veut sans règle

✅ On valide

• Toujours chercher un facteur commun en premier
• Vérifier si l'expression est une identité remarquable
• Parfois, réorganiser les termes aide à voir le facteur commun

Le petit + à retenir

Objectif

Savoir reconnaître, calculer et utiliser les racines carrées dans des calculs simples.

Pourquoi c'est important ?

Les racines carrées sont utiles pour :

• Résoudre des équations et des problèmes de géométrie (théorème de Pythagore),
• Calculer des distances et des diagonales,
• Travailler avec des aires et des volumes,
• Simplifier des expressions mathématiques.

⚠️ Il y a des règles simples, mais différentes. Il ne faut pas confondre !

Petit rappel

• Racine carrée : La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne $a$.

$$\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$$

• On la note $\sqrt{a}$

Exemple

$$\sqrt{9} = \sqrt{3 \times 3} = 3$$

⚠️ On ne prend que la valeur positive en racine carrée simple.

• $\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{1} = 1$

🪜 Les étapes pour assurer

1. Produit sous la racine

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$

Exemple

$$\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = 20$$

2. Division sous la racine

$$\sqrt{a \div b} = \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Exemple

$$\sqrt{16 \div 25} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0,8$$

3. Carré et racine carrée s'annulent

$$\sqrt{a^2} = a, a \geq 0$$

Exemple

$$\sqrt{5^2} = 5$$

4. La racine carrée d'un nombre est ce nombre élevé à la puissance ½

$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$$

Exemple

$$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$$

❌ On évite absolument

• Penser que $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ → FAUX et archi FAUX !
• Oublier que la racine carrée est positive par défaut
• Essayer de calculer la racine carrée d'un nombre négatif (dans $\mathbb{R}$)

✅ On valide

• Racine d'un produit → $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
• Racine d'un quotient → $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• Racine d'un carré → $\sqrt{a^2} = a, a \geq 0$
• Nombre exact : $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$, etc.

Le petit + à retenir