Partie 1 - AUTOMATISMES
(sans calculatrice)
Question 1
$A= \displaystyle \frac{2}{3} + \frac{3}{4}$
$\displaystyle A = \frac{2\times 4}{3\times 4} + \frac{3\times 3}{4\times 3}$
$\displaystyle A= \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12},$ en mettant les deux fractions au même dénominateur, qui est le plus petit dénominateur commun.
Question 2
La remise de $10~\%$ sur cet article est de : $\displaystyle \frac{10}{100} \times 45 = \frac{10\times 45}{100} =\frac{450}{100} = 4,50~\rm{€}.$
Après cette réduction, le nouveau prix de cet article est de : $45 - 4,50 = 40,50~\rm{€}.$
Question 3
D'après le codage de ce quadrilatère, ses diagonales se coupent en leur milieu donc c'est un parallélogramme.
Nous savons aussi que ses diagonales ont même longueur, donc c'est un rectangle.
Réponse B.
Question 4
L'équation $5x - 15 = 20$ est équivalente à $5x = 20 + 15 = 35$, puis à $x = \displaystyle \frac{35}{5} = 7.$
Question 5
L'abscisse du point $\rm A$ est $-4.$
Les coordonnées du point $\rm B$ sont $\rm B(-2~; -1).$
Question 6
Commençons par classer ces 9 nombres dans l'ordre croissant :
$1~; 3~; 3~; 8~; 11~; 12~; 12~; 19~; 25.$
$9 \div 2 = 4,5$ donc la médiane de cette série est la cinquième des valeurs classées par ordre croissant : c'est $11.$
Question 7
Dans le triangle $\rm ABC$ rectangle en $\rm A$, on a :
$\cos(\widehat{\rm ABC}) = \rm \displaystyle \frac{AB}{BC}$ donc $\rm AB = BC\times \cos(60)$.
Question 8
$3 + 8 + 7 = 18$ qui est divisible par $3$ donc $387$ est divisible par $3$.
On a $387 = 3\times 129$.
Partie 2 – RAISONNEMENT ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
(avec calculatrice) / Présentation (2 pts)
Exercice 1 (2,5 points)
1. Pour montrer que le triangle $\rm EAD$ est rectangle en $\rm E$ (point opposé au côté le plus long), utilisons la réciproque du théorème de Pythagore.
D'une part,
$\rm AD^2 = 7,3^2 = 53,29.$
D'autre part,
$\rm EA^2 + ED^2 = 4,8^2 + 5,5^2$
$= 23,04 + 30,25 = 53,29.$
On a donc :
$\rm AD^2 = EA^2 + ED^2.$
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $\rm EAD$ est rectangle en $\rm E$.
2. L'aire du triangle $\rm AED$ est :
$\mathcal{A}_{\mathrm{AED}} = \displaystyle \rm \frac{AE\times ED}{2}$
$= \dfrac{5,5\times 4,8}{2} = 13,2~\rm{cm}^2.$
3. La droite $\rm (EB)$ est perpendiculaire aux droites $\rm (BC)$ et $\rm (ED)$.
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles.
Les droites $\rm (BC)$ et $\rm (ED)$ sont donc parallèles.
4. D'une part, les points $\rm B$, $\rm A$ et $\rm E$ sont alignés dans cet ordre et, d'autre part, les points $\rm C$, $\rm A$ et $\rm D$ sont alignés dans ce même ordre.
Les droites $\rm (BC)$ et $\rm (ED)$ sont parallèles donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
$\rm \displaystyle \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{ED}{BC}$.
Avec les valeurs numériques, on a :
$\rm \displaystyle \frac{5,5}{AB} = \frac{4,8}{7,2}$, puis $\rm 4,8 \times AB = 5,5\times 7,2 = 39,6$ et
$\rm AB = 39,6\div 4,8 = 8,25~\rm{cm}$.
5. Les droites $\rm (BC)$ et $\rm (DE)$ sont parallèles, et la droite $\rm (CD)$ en est une sécante.
Les angles $\rm \widehat{ACB}$ et $\rm \widehat{ADE}$ sont alternes-internes donc ils sont égaux.
$\rm \widehat{ADE} = \widehat{ACB} = 49^{\circ}$.
Exercice 2 (3,5 points)
1. $f(-4) = (-4 - 1)(-4 + 3) = (-5) \times (-1) = 5.$
2. L'antécédent de $2$ par la fonction $g$ est la valeur $x$ telle que $g(x) = 2.$
On a donc $g(x) = 2x + 1 = 2$, puis $2x = 2 - 1 = 1$ et $x = \displaystyle \frac{1}{2}.$
L'antécédent de $2$ par la fonction $g$ est donc $x = \displaystyle \frac{1}{2}.$
3. a. Pour compléter la ligne 3, la formule que l'on doit saisir en cellule B3 puis étirer vers la droite est : « = 2*B1 + 1 ».
3. b. En lisant le tableau, on remarque que $f(2) = g(2) = 5.$
La valeur $2$ est donc une solution de l'équation $f(x) = g(x).$
4. a. $g$ est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite : c'est $\mathcal{C}_2.$
$f$ est donc représentée graphiquement par la courbe $\mathcal{C}_1$ (qui est une parabole).
4. b. Graphiquement, les deux solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont $x = -2$ et $x = 2.$
5. L'équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à $(x - 1)(x + 3) = 2x + 1$, puis à $x^2 + 3x - x - 3 = 2x + 1$ et à $x^2 - 4 = 0$.
Lola a donc raison.
Remarque : les solutions de cette equation $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2) = 0$ sont $x = 2$ et $x = -2$.
Exercice 3 (4 points)
Partie A
1. Le nombre d'images qui appartiennent à la catégorie « Autres » est :
$50~000 - (28~000 + 12~000 + 8~000) = 50~000 - 48~000 = 2~000.$
2. Le nombre d'images reconnues correctement dans la catégorie « Objets du quotidien » est :
$\displaystyle \frac{90}{100} \times 28~000 = 90\times \frac{28~000}{100}$
$= 90\times 280 = 25~200.$
3. Parmi les $8~000$ images de la catégorie « véhicules », $5~600$ sont reconnues, c'est-à-dire un pourcentage de réussite de :
$\displaystyle \frac{5~600}{8~000} \times 100 = \frac{56}{80} \times 100$
$= \dfrac{56 \times 100}{80} = \dfrac{5~600}{80}$
$= \dfrac{560}{8} = 70~\%.$
4. En prenant une image tirée au hasard dans la base de données, la probabilité qu'elle soit tirée dans la catégorie « Objets du quotidien » est :
$\displaystyle \frac{28~000}{50~000} = \frac{28}{50} = \frac{56}{100} = 0,56.$
Partie B
5. En 2024, la consommation estimée de l'intelligence artificielle est :
$\rm{82~000~GWh} = 82~000\times 10^9~\rm{Wh}$
$= 8,2\times 10^4 \times 10^9~\rm{Wh}$
$= 8,2\times 10^{4+9}~\rm{Wh} = 8,2\times 10^{13}~\rm{Wh},$
écrit avec la notation scientifique.
En 2024, la consommation moyenne d'un collège est :
$\rm{200~000~kWh} = 200~000\times 10^3~\rm{Wh}$
$= 2\times 10^5 \times 10^3~\rm{Wh}$
$= 2\times 10^{5+3}~\rm{Wh}$
$= 2\times 10^8~\rm{Wh},$
écrit avec la notation scientifique.
6. $\displaystyle \frac{8,2\times 10^{13}}{2\times 10^8} = 4,1 \times 10^{13-8}$
$= 4,1\times 10^5 = 4,1\times 100~000 = 410~000.$
En 2024, avec la consommation électrique estimée de l'intelligence artificielle, on pourrait alimenter $410~000$ collèges.
7. Avec la consommation estimée de l'intelligence artificielle en 2024, on pourrait alimenter tous les collèges français pendant :
$\displaystyle \frac{410~000}{7~100} = \frac{4~100}{71} \approx 57,7$ années, donc au moins $57$ ans ou bien presque $58$ ans.
Exercice 4 (2 points)
1. Après l'exécution du bloc 1, les coordonnées du lutin sont $(0~; 0)$.
2. Un carré a 4 côtés donc A correspond à « 4 ».
Un carré a 4 angles droits (de mesure $90^{\circ}$) donc B correspond à « 90 ».
Un triangle équilatéral a 3 côtés donc C correspond à « 3 ».
Un triangle équilatéral a 3 angles de mesure $60^{\circ}$, mais le lutin tourne de l'angle supplémentaire à cet angle donc de $180 - 60 = 120^{\circ}$.
D correspond donc à « 120 ».
3. Le programme 1 trace un triangle équilatéral puis, avec la boucle « répéter », 3 carrés : c'est donc la figure B.
Le programme 2 trace un carré puis, avec la boucle « répéter », 4 triangles équilatéraux : c'est donc la figure C.
Le programme 3 trace un triangle équilatéral puis, avec la boucle « répéter », 3 triangles équilatéraux : c'est donc la figure A.
