Calcul littéral

Egalité de deux quotients

On considère quatre nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $b \neq 0$ et $d \neq 0$. 

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ équivaut à $a\times d = b\times c$.

Exemple :

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{3}{4}$ équivaut à $4\times x = 3\times 5 = 15$, donc à $x = \dfrac{15}{4} = 3,75$.

Puissances

Pour un nombre $a\neq 0$, $a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

Pour tous les nombres non nuls $a$ et $b$, et tous les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ :

• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ;
• $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ;
• $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ;
• ${(a^m)}^n = a^{m \times n}$ ;
• $(a\times b)^n = a^n \times b^n$.

Exemples :

$3^2\times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ ;
$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ ;
${(2^2)}^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$.
$(3\times 5)^4 = 3^4 \times 5^4$.

Développement et factorisation

Formule de simple distributivité
Pour tous les nombres $a$, $b$ et $k$ :
$k\times (a + b) = k \times a + k \times b$
$(a + b) \times k = a \times k + b \times k$

Exemple : $3(x - 5) = 3\times x - 3\times 5 = 3x - 15$.

Formule de double distributivité
Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ :
$(a + b)\times (c + d) = a\times c + a\times d + b\times c + b \times d.$
Lorsque l’on a rangé les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l’on a ordonné et réduit l’expression.

Exemple :

$(x + 2)(x - 5)$

$= x^2 + x\times(-5)$ $+ 2\times x + 2\times (-5)$

$= x^2 - 5x + 2x - 10$$= x^2 - 3x - 10$

qui est une expression développée, ordonnée et réduite.

Factorisation
Factoriser une expression, c’est transformer une somme en un produit de facteurs.
On peut, par exemple, utiliser la formule de simple distributivité lue dans l'autre sens.

Exemple :

$4x^2 - 8x = 4x\times x - 4x\times 2 = 4x(x - 2)$

Egalités remarquables

Pour $a$ et $b$ deux nombres :

• ${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ;
• ${(a - b)}^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ;
• $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Elles peuvent servir à développer ou à factoriser une expression.

Exemples : 
${(x + 2)}^2 = x^2 + 4x + 4$ ;

${(x - 5)}^2 = x^2 - 10x + 25$ ;

$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$. 

Equation-produit et équation carré

Equation produit

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont des expressions du premier degré, $\rm A \times B = 0$ est une équation-produit.
Pour la résoudre, on utilise la propriété suivante : « un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul ».
Donc $\rm A \times B = 0$ équivaut à $\rm A = 0$ ou $\rm B = 0$.

Exemple :  

$(x + 2)(x - 5) = 0$ équivaut à $x + 2 = 0$ ou $x - 5 = 0$, donc à $x = -2$ ou $x = 5$.

Nombres de même carré
Les solutions de l’équation ${x}^2 = a^2$ sont $x = a$ et $x = -a$.

Exemple :

Les solutions de l’équation $x^2 = 36$ sont $x = 6$ et $x = -6$, car $36 = 6^2$.

Polynômes et fractions rationnelles

Polynômes 

• L’expression littérale $7x^3$ est un monôme en $x$.
  $7$ est le coefficient du monôme et le monôme est de degré $3$.
• L’expression littérale $2x^5 + 5x^3 – 6$ est un polynôme en $x$ et le degré de ce polynôme est $5$.

Fractions rationnelles

• L’expression littérale $\dfrac{x^3 + 4}{x^2 - 9}$, qui est un quotient de polynômes, est une fraction rationnelle de numérateur $x^3 + 4$ et de dénominateur $x^2 – 9$.
  
  
• Une fraction rationnelle existe si et seulement si son dénominateur est non nul.

Dans notre exemple, $x^2 - 9 \neq 0$ donc $x^2 \neq 9 = 3^2$ puis $x\neq 3$ et $x \neq -3$.

Simplification d’une fraction rationnelle

Pour les valeurs où elle existe, une fraction rationnelle peut être simplifiée lorsqu’elle a un facteur commun au numérateur et au dénominateur.

Exemple :

Pour $x\neq 3$ et $x \neq -3$, 
$\dfrac{(x - 3)(x + 5)}{x^2 - 9} = \dfrac{(x – 3)(x + 5)}{(x – 3)(x + 3)} = \dfrac{x + 5}{x + 3}$.