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Calcul numérique 1

Il existe 8 types d’intervalles qui sont associés à des inégalités.
Pour $a$, $b$ $(a < b)$ et $x$ trois nombres réels :

On peut représenter les 8 intervalles ci-dessus sur une droite graduée.

Vocabulaire :
Pour les 4 premiers intervalles ci-dessus :

L’intersection des intervalles I et J, notée $\rm I\cap J$ et prononcée « I inter J », est constituée de l’ensemble des éléments de I et de J :

$x\in \rm I\cap J$ équivaut à $x\in \rm I$ et $x\in \rm J$.
La réunion des intervalles I et J, notée $\rm I\cup J$ et prononcée « I union J », est constituée de l’ensemble des éléments de I ou de J :

$x\in \rm I\cup J$ équivaut à $x\in \rm I$ ou $x\in \rm J$.

Exemple :
Pour les intervalles $\rm I = [-3~ ; 4[$ et $\rm J = ]2~ ; 7]$, on a :
$\rm I\cap J = ]2~ ; 4[$ et $\rm I\cup J = [-3~ ; 7]$.

Une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou on soustrait le même nombre aux deux membres.
Une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre positif (non nul pour la division) les deux membres.
Une inégalité change de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre négatif (non nul pour la division) les deux membres.
Lorsqu’on ajoute membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.
Lorsqu’on multiplie membre à membre des inégalités de même sens entre nombre positifs, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

Exemples :

$3 < 5$ donc $3\times (-2) > 5\times (-2)$ et $-6 > -10$.
Pour $x$ et $y$ deux nombres positifs, si $x < 3$ et $y < 2,5$, alors $x\times y < 3\times 2,5 = 7,5$.

Comparaisons de carrés

Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs.
$a \leq b$ équivaut à $a^2 \leq b^2$ (l’ordre est conservé).
Soit $a$ et $b$ deux nombres négatifs.
$a \leq b$ équivaut à $a^2 \geq b^2$ (l’ordre est inversé).

Comparaisons de racines carrées

Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs.

$a \leq b$ équivaut à $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$ (l’ordre est conservé).

Comparaison d’inverses

Soit $a$ et $b$ deux nombres non nuls et de même signe.
$a \leq b$ équivaut à $\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}$ (l’ordre est inversé).

Remarques :

Les propriétés ci-dessus sont aussi vraies lorsque toutes les inégalités sont strictes.
Pour comparer des nombres, on peut comparer leur carré, leur racine carrée ou leur inverse, ou étudier leur différence.

Lorsqu’on ajoute membre à membre un encadrement de 2 nombres, on obtient un encadrement de la somme de ces 2 nombres.
Pour encadrer la différence $a – b = a + (-b)$, on se ramène à ajouter membre à membre les encadrements des nombres $a$ et $-b$.
Lorsqu’on multiplie membre à membre un encadrement de 2 nombres positifs, on obtient un encadrement du produit de ces 2 nombres positifs.
Pour encadrer le quotient $\dfrac{a}{b} = a\times \dfrac{1}{b}$ ($a$ et $b$ strictement positifs), on se ramène à multiplier membre à membre les encadrements des nombres $a$ et $\frac{1}{b}$.