Les fonctions polynômes du second degré sont incontournables en spécialité maths. Elles reviennent souvent dans les sujets du Bac, que ce soit dans les exercices de calcul, de raisonnement ou d’étude de fonctions. Pour bien t’y préparer, rien de mieux qu’un peu de pratique ! Voici des exercices corrigés et des rappels essentiels pour maîtriser le signe et la factorisation des polynômes du second degré.
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Comprendre les fonctions polynômes du second degré
Définition et rappels essentiels
Une fonction polynôme du second degré, appelée aussi trinôme, est une fonction de la forme :
f (x) = ax² + bx + c
où a, b, et c sont des réels, avec a ≠ 0
Cette fonction peut s’écrire sous différentes formes :
- Forme développée : f (x) = ax² + bx + c
- Forme factorisée : f (x) =a (x – x₁) (x – x₂) où x₁ et x₂ sont les racines de f, c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles f(x)=0
- Forme canonique : f(x)= a(x−α) 2+ β, utile pour étudier la courbe et le minimum/maximum de f.
Le signe de f(x) dépend du coefficient a :
- Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut et f est positive en dehors des racines.
- Si a < 0 , la parabole est ouverte vers le bas et f est négative en dehors des racines.
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Tableau de signes et étude du signe d’un trinôme
Lorsqu’une fonction est donnée sous forme factorisée, l’étude du signe devient beaucoup plus simple.
Prenons le cas :
f (x) =a (x – x₁) (x – x₂)
avec x₁ < x₂
- Si a > 0, f(x) est positive à l’extérieur de l’intervalle [x1,x2] et négative à l’intérieur.
- Si a < 0, f(x) est négative à l’extérieur et positive à l’intérieur.
Un tableau de signes permet de visualiser tout cela rapidement et de vérifier la cohérence du raisonnement.
Exercices corrigés sur les fonctions polynômes du second degré
Exercice 1 : relier les expressions entre elles
Associe chaque fonction à la bonne propriété de signe.
- f (x) = -2 (x-1)²
- f (x) = 2 (x-1) (x-2)
- f (x) = -2 (x-1) (x-2)
- f(x) = 2 (x-2)²
Voici les différentes propositions :
- f est négative sur [1 ; 2]
- f est positive sur [1 ; 2]
- 1 et 2 sont les racines de f
- Sur [1 ; 2], (x−1) (x−2) ≤0
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Correction
Les fonctions f (x) = 2 (x-1) (x-2) et f (x) = -2 (x-1) (x-2) admettent 1 et 2 comme racines.
Sur [1 ; 2], (x−1)(x−2) ≤0 donc :
- Si le coefficient est positif (a>0), f est négative sur [1 ; 2].
- Si a< 0, f est positive sur [1 ; 2].
Astuce Bac : toujours identifier le signe de a avant de tracer ton tableau !
Exercice 2 : compléter les phrases avec les notions clés
Complète les phrases suivantes.
Soit f ………… polynôme du second degré défini sur R par f(x) = −3(x+1)(x−4)
f est donné sous ………… forme factorisée. Les valeurs -1 et 4 sont les ………… racines de f.
On peut étudier le ………… signe de f à l’aide d’un …………
Sur [-1 ; 4], f est ………… positive.
Sur ]−∞;−1[∪]4;+∞[ , f est ………… négative.
Correction :
- f est un polynôme du second degré défini sur R
- Il est donné sous forme factorisée.
- Les valeurs -1 et 4 sont les racines de f.
- On peut étudier le signe de fff à l’aide d’un tableau de signes.
- Sur [−1;4][-1 ; 4][−1;4], f est positive.
- Sur ]−∞;−1[∪]4;+∞[ , f est négative.
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Exercice 3 : étudier le signe d’une fonction donnée
Soit f définie sur {R} par :
f(x)= ½ (x−2) (x+5)
- Quelles sont les racines de f ?
- Étudier le signe de f.
- Sur quel intervalle f est-elle négative ?
Correction :
- Les racines de f sont les valeurs qui annulent f(x) :
f(x)=1/2(x−2)(x+5)
donc f(x) = 0 pour x = −5 et x= 2
- Étudions le signe de fff :
| x | -∞ | -5 | 2 | +∞ |
| x – 2 | – | – | 0 | + |
| x + 5 | – | 0 | + | + |
| f(x) | + | 0 | – | + |
Ainsi, f(x) est négative sur [-5 ; 2].
- f est négative sur l’intervalle [-5 ; 2] et positive ailleurs.
Méthodologie : comment réussir les exercices sur les fonctions polynômes au Bac ?
1) Les étapes à maîtriser le jour J
- Identifier la forme du polynôme (développée ou factorisée).
- Trouver les racines à partir de l’équation f(x)=0f(x) = 0f(x)=0.
- Repérer le signe du coefficient aaa pour anticiper la forme de la parabole.
- Construire le tableau de signes.
- Vérifier la cohérence avec la courbe (positive au-dessus de l’axe, négative en dessous).
2) Les erreurs fréquentes à éviter
- Oublier de changer le signe lorsque a<0a < 0a<0.
- Confondre racines et coefficients.
- Ne pas préciser les intervalles exacts de positivité/négativité.
- Négliger les crochets dans les intervalles contenant les racines.
FAQ : tout savoir sur les fonctions polynômes du second degré
1. Comment reconnaître une fonction polynôme du second degré ?
C’est une fonction de la forme ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c avec a≠0a \neq 0a=0. Elle représente une parabole.
2. Comment étudier le signe d’un trinôme ?
Soit tu factorises f(x)f(x)f(x), soit tu détermines son discriminant pour trouver les racines, puis tu construis le tableau de signes.
3. Quels sont les exercices types au Bac ?
Les sujets incluent souvent une étude de signe, un tableau de variation, ou l’exploitation graphique d’une fonction polynôme.
4. Où trouver des exercices corrigés ?
Sur Nomad Education, tu trouveras des exercices corrigés, quiz et annales pour t’entraîner gratuitement.
5. Quelle méthode suivre pour progresser en spé maths ?
Alterner cours + exercices corrigés + quiz rapides pour renforcer la mémorisation et t’habituer à la logique des sujets du Bac.
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