Représentation paramétrique d’une droite de l'espace
Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
Définition générale
Une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par le point $\mathrm{A}({x}_{\mathrm{A}} ~; {y}_{\mathrm{A}}~ ; {z}_{\mathrm{A}})$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha~ ; \beta~ ; \gamma) \neq \vec{0}$ est :
$x = \alpha t + {x}_{\mathrm{A}}$
$y = \beta t + {y}_{\mathrm{A}}$
$z = \gamma t +{z}_{\mathrm{A}}$
avec $t$ un nombre réel.
Propriété réciproque
Réciproquement, les équations suivantes :
$x = \alpha t + {x}_{\mathrm{A}}$
$y = \beta t + {y}_{\mathrm{A}}$
$z = \gamma t + {z}_{\mathrm{A}}$
avec $t$ un nombre réel sont une représentation paramétrique de la droite $\rm (D)$ passant par le point $A({x}_{\mathrm{A}}~ ; {y}_{\mathrm{A}}~ ; {z}_{\mathrm{A}})$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha~ ; \beta~ ; \gamma) \neq \vec{0}$.
Application pratique
ExempleUne représentation paramétrique de la droite passant par les points $\mathrm{A}(-1~;~-2~;~2)$ et $\mathrm{B}(3~;~0~;~1)$ est :
$x = 4t - 1$
$y = 2t - 2$
$z = -t + 2$
Avec $t$ un nombre réel, car elle passe par le point $\mathrm{A}$ et admet pour vecteur directeur :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}(3-(-1)~;~0-(-2)~;~1 - 2)$
Soit :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}(4~; ~2~;~-1)$.
