Je comprends le travail et l’énergie
Objectif
Déterminer l'équation qui relie les coordonnées $x$ et $y$ d'un mobile, sans dépendre explicitement du temps $t$.
Pourquoi c'est important ?
- Permet de prévoir la forme de la trajectoire à partir des équations horaires.
- Utilisée en balistique (lancer de projectiles), en orbital (orbites), en mécanique.
- Sert à tracer la trajectoire sans calculer la position à chaque instant.
Petit rappel
- Une trajectoire est la courbe décrite par un point en mouvement.
- L'équation de la trajectoire exprime $y$ en fonction de $x$ (ou inversement) en éliminant le temps des équations horaires $x(t)$ et $y(t)$.
- Cette méthode s'utilise en cinématique 2D (mouvement rectiligne oblique, parabole, cercle…).
🔧 Les étapes pour assurer
1. Travail $W$ d'une force constante
Si la force $\vec{F}$ est constante et que l'objet se déplace d'un vecteur $\vec{d}$, alors le travail de cette force est donné par :
$$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$$
Où :
- $F$ : intensité de la force en $\mathrm{N}$
- $d$ : déplacement en $\mathrm{m}$
- $\alpha$ : angle entre force et déplacement
Cas particuliers :
- Force parallèle au déplacement ($\alpha = 0°$) → $W = F \cdot d$
- Force perpendiculaire au déplacement ($\alpha = 90°$) → $W = 0$
2. Énergies mécaniques
• Énergie cinétique
$$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$$
Où :
- $m$ : masse en $\mathrm{kg}$
- $v$ : vitesse en $\mathrm{m/s}$
• Énergie potentielle de pesanteur
$$E_p = mgh$$
Où :
- $m$ : masse en $\mathrm{kg}$
- $g$ : intensité de pesanteur, $g = 9{,}81 \mathrm{~N.kg^{-1}}$
- $h$ : hauteur par rapport à un niveau de référence en $\mathrm{m}$
• Énergie mécanique
$$E_m = E_c + E_p$$
En l'absence de frottement l'énergie mécanique est conservée, c'est-à-dire qu'elle est constante.
Exemple
Un objet de $2 \mathrm{~kg}$ est lancé à $4 \mathrm{~m/s}$ :
$$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 4^2 = 16 \mathrm{~J}$$
Si cet objet monte de $3$ mètres :
$$E_p = mgh = 2 \times 9{,}81 \times 3 = 58{,}86 \mathrm{~J}$$
L'énergie mécanique totale est de :
$$E_m = E_c + E_p = 16 + 58{,}86 = 74{,}86 \mathrm{~J}$$
3. Théorème de l'énergie cinétique
$$W_{\mathrm{total}} = \Delta E_c$$
Travail total des forces = variation de l'énergie cinétique
4. Puissance
$$P = \dfrac{W}{\Delta t}$$
Où :
- $P$ : puissance en watt $(\mathrm{W})$ où $1 \mathrm{~W} = 1 \mathrm{~J.s^{-1}}$
- $W$ : travail total en joules $(\mathrm{J})$
- $\Delta t$ : variation du temps en secondes $(\mathrm{s})$
❌ On évite absolument
- Confondre masse $(\mathrm{kg})$ et poids $(\mathrm{N})$.
- Oublier que le travail peut être négatif si la force s'oppose au déplacement.
- Mélanger énergie cinétique et potentielle.
✅ On valide
- Utiliser les unités SI $(\mathrm{N}, \mathrm{m}, \mathrm{s}, \mathrm{kg}, \mathrm{J})$.
- Vérifier si l'angle entre force et déplacement est pris en compte.
- Penser à la conservation de l'énergie si pas de dissipation.