Variables aléatoires
Variable aléatoire
Soit $E$ une expérience aléatoire d'univers $\Omega$.
Une variable aléatoire $X$ est une application qui, à un événement élémentaire de $\Omega$, associe un nombre réel.
Loi de probabilité
Soit $X$ une variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs prises est $\{x_1 ~; x_2~ ; ... ; x_n\}$.
Donner la loi de probabilité de $X$, c'est donner la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ où $\{X = x_i\}$ est constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par $X$ est $x_i$.
Les nombres $p_i$ vérifient les conditions suivantes :
- $0 \leq p_i \leq 1$
- $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$
On présente généralement cette loi sous forme de tableau :
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | ... | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | ... | $p_n$ |
Espérance
L'espérance mathématique de $X$ correspond à la valeur moyenne de la variable aléatoire. Elle est définie par :
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)$$
Loi de Bernoulli
Soit $E$ une épreuve comportant 2 issues possibles :
- Le succès, associé à la valeur $1$ avec une probabilité $p$.
- L'échec, associé à la valeur $0$ avec une probabilité $1 - p$.
On dit que $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
Espérance
Pour une variable aléatoire de Bernoulli, l'espérance est simple : $E(X) = p$.
