Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction $f$ dérivable en ${x}_0$ on calcule $f'({x}_0)$.
Point de vue graphique du nombre dérivé
Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse ${x}_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse ${x}_0$.
Equation de la tangente à une courbe en un point
La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $x_0$ a pour équation :
$y = f’(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$
EN RÉSUMÉ
Fonction dérivée
Dérivée des fonctions usuelles
Les premières règles de dérivation concernent des fonctions de référence:
La fonction carré ($x\mapsto x^2$) est dérivable sur l’intervalle $]-\infty~ ; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 2x$ sur cet intervalle.
La fonction cube ($x\mapsto x^3$) est dérivable sur l’intervalle $]-\infty~ ; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 3x^2$ sur cet intervalle.
Dérivée d'une somme
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $u + v$ est dérivable sur $I$ et on a la formule suivante:
$$ (u + v)' = u' + v' .$$ Exemple Pour dériver la fonction définie par $f(x) = x^3 + x^2$ sur $\mathbb{R}$, on applique la formule de la somme: $f'(x) = 3x^2 + 2x$ sur $\mathbb{R}$.
Dérivée d'un produit par un réel
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $k$ un nombre réel.
La fonction $k \times u$ est dérivable sur $I$ et on a la formule suivante:
$$ (k \times u)' = k \times u' .$$ Exemple Pour dériver la fonction définie par $g(x) = 5x^2$ sur $\mathbb{R}$, on multiplie la dérivée de $x^2$ par le réel $5$: $g'(x) = 5 \times 2x = 10x$ sur $\mathbb{R}$.
Tableau de dérivées
Voici le récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles:
Fonction $f(x)$
Dérivée $f'(x)$
Intervalle de dérivabilité
$k$ (constante)
$0$
$\mathbb{R}$
$x$
$1$
$\mathbb{R}$
$x^2$
$2x$
$\mathbb{R}$
$x^3$
$3x^2$
$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)
$n x^{n-1}$
$\mathbb{R}$
$ax^2+bx+c$
($a\neq 0$, $b$, $c$ constantes)
$2ax + b$
$\mathbb{R}$
$ax^3+bx^2+cx+d$
($a\neq 0$, $b$, $c$, $d$ constantes)
$3ax^2+2bx+c$
$\mathbb{R}$
EN RÉSUMÉ
Variations de fonctions
Dérivée et variations
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Signe de la dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in I$
Variation de la fonction $f$ sur $I$
$f'(x) > 0$
Strictement croissante
$f'(x) < 0$
Strictement décroissante
Condition Ces règles de variations ne s'appliquent que si la fonction est dérivable sur l'ensemble de l'intervalle considéré.
Extremum d'une fonction
Soit $a \in I$ un point distinct des extrémités de l'intervalle $I$.
La fonction $f$ admet un extremum local en $a$ (qui est $f(a)$) si et seulement si les deux conditions suivantes sont réunies:
La dérivée s'annule en ce point: $f'(a) = 0$.
La dérivée $f'$ change de signe en $a$.
EN RÉSUMÉ
Lectures graphique et nombres dérivés
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Les dérivées usuelles
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Les dérivées usuelles partie 2
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Déterminer les variations des fonctions polynômes du second degré
