Probabilités conditionnelles

Intersection de deux événements

L'intersection de deux événements $\rm A$ et $\rm B$ est notée $\rm A \cap B$ ("$\rm A$ inter $\rm B$"). L'événement $\rm A \cap B$ correspond à l'événement "$\rm A$ et $\rm B$".

Événements incompatibles

Lorsqu'aucune issue ne réalise $\rm A$ et $\rm B$, c'est-à-dire $\rm A \cap B = \emptyset$, on dit que $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles.

Événements indépendants

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants, on a :

$$\rm P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$$

Réunion de deux événements

La réunion de deux événements $\rm A$ et $\rm B$ est notée $\rm A \cup B$ ("$\rm A$ union $\rm B$"). L'événement $\rm A \cup B$ correspond à l'événement "$\rm A$ ou $\rm B$".

Propriétés

Formule générale :

$$\rm P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$

Cas particulier :

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles, on a :

$$\rm P(A \cup B) = P(A) + P(B).$$

EN RÉSUMÉ

Probabilité conditionnelle

Soit A et B deux événements (A de probabilité non nulle). La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé est :

$$\rm P_{A} (B) = \dfrac{\rm P(A \cap B)}{P(A)}.$$

Représentation par arbre pondéré

On peut représenter la situation d'une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Exemple

Dans cet exemple, on a :

$\rm P_A (B) = 0,6$ ; $\rm P_A (\bar{B}) = 0,4$ ; $\rm P_{\bar{A}} (B) = 0,7$ ; $\rm P_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$.

Calcul des probabilités d'intersection

On a aussi, par exemple :

$\rm P(A \cap B) = \rm P_A (B) \times P(A)$ $= 0,6 \times 0,2 = 0,12$ et $\rm P(\bar{A} \cap B) = P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $= 0,7 \times 0,8 = 0,56$.

Formule des probabilités totales

Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $A$, $\bar{A}$, $B$ et $\bar{B}$ sont de probabilités non nulles. $A \cap B$ et $\bar{A} \cap B$ forment une partition de l'événement $B$ et on a :

$$\begin{array}{ll} \rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\\ \rm P(B) = P_A(B) \times P(A) + P_{\bar{A}}(B) \times P(\bar{A}). \end{array}$$

Exemple

Dans l'exemple précédent, on a vu que :

$$\rm P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A)$$ $$= 0,6 \times 0,2 = 0,12$$

et

$$\rm P(\bar{A} \cap B) = P_{\bar{A}}(B) \times P(\bar{A})$$ $$= 0,7 \times 0,8 = 0,56.$$

D'après la formule des probabilités totales, on a :

$$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = 0,12 + 0,56 = 0,68.$$

EN RÉSUMÉ