Chute verticale avec frottement visqueux
Système : bille de masse $\rm m$
Référentiel : terrestre considéré galiléen
Bilan des forces : poids de la bille et force de frottement visqueux $\vec f = -k~\vec v$
2nde Loi de Newton : $\displaystyle \sum \overrightarrow{\rm F} = m\vec a \Leftrightarrow \overrightarrow{\rm P} + \vec f = m\vec a$
$m\vec \mathrm g - k\vec v = m\vec a$
On projette maintenant cette relation sur l'axe $\mathrm Oz$ vertical ascendant.
$-m\mathrm g - kv_z = ma$ $\Leftrightarrow m\dfrac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt} + kv_z = -m\mathrm g$ $\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt} + \dfrac{k}{m}v_z = -\rm g}$
$\dfrac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt} + \dfrac{v_z}{\tau} = -\rm g$ avec $\tau = \dfrac{m}{k}$
La notation $\tau$ fait référence à un temps. En effet, la grandeur $\tau = \dfrac{m}{k}$ est un temps caractéristique de la fonction $v = f(t)$.
Résolution de l’équation différentielle :
Solution de l'équation homogène
Equation homogène : $\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt} + \dfrac{v}{\tau} = 0$ $\Longrightarrow$ Solution : $v_h= \mathrm A \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)$ avec une $\rm A$ constante.
Solution particulière
Le seconde membre étant constant (égal à $\rm -g$), on cherche une solution particulière $v_p = \rm cste$.
Alors $\dfrac{\mathrm dv_p}{\mathrm dt} = 0$ et on obtient $v_p = -\rm g~\tau$.
Solution globale
On a donc : $v_z = \mathrm A \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right) + -\mathrm g~\tau$
On peut maintenant déterminer $\rm A$ à l'aide des conditions initiales :
$\mathrm A~t =0 = v(t=0) = 0$ $= \mathrm A - \mathrm g~\tau \Leftrightarrow \rm A = g~\tau$
Et finalement $\boxed{v_z = \mathrm g~\tau \left(\exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)-1\right)}$
Vitesse limite, régime permanent et régime transitoire :
Le régime est transitoire tant que la vitesse évolue et le régime est permanent lorsque la vitesse limite est atteinte. On considère qu’au bout de $5\tau$, le régime permanent est atteint.
Détermination de $\tau$ : On cherche l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe en $t = 0$ et l’asymptote quand $t \rightarrow \infty$ de la courbe $|v_z| = f(t)$.
Détermination de la vitesse limite : La vitesse limite est constante, donc :
$\dfrac{\mathrm dv_z\lim}{\mathrm dt} + \dfrac{v_z\lim}{\tau} = -\rm g$ $\Leftrightarrow 0 + \dfrac{v_a\lim}(\tau} = -\rm g$ $\Leftrightarrow v_z \lim = -\rm g~\tau$ $\Leftrightarrow \boxed{|v_z\lim| = \rm g~\tau}$
