Forces de frottement et théorème de l’énergie cinétique

Le travail, noté $\rm W_{AB}(\overrightarrow{F})$ d'une force constante $\rm \overrightarrow{F}$, sur un déplacement $\rm AB$ de son point d'application, est le produit scalaire de la force $\bf\overrightarrow{F}$ par le déplacement $\bf \overrightarrow{AB}$.

On écrit ainsi : $\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB}}$ ou $\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{F}) = F \cdot AB \cdot \cos \alpha}$

$\left\{\begin{array}{lll}
\rm W_{AB}(\overrightarrow{F}): \text{Travail de la force } \overrightarrow{F} \text{ en }\\
\text{Joules (J)}\\
\rm \overrightarrow{AB} : \text{vecteur déplacement du point }\\
\text{d'application de la force.}\\
\rm AB \text{ en mètres (m)}\\
\alpha : \text{angle existant entre les vecteurs } \overrightarrow{\rm F}\\
\text{ et } \overrightarrow{\rm AB}, \text{ en ° (degré) ou en}
\text{rad (radian)}\\
\end{array}\right.$

\[\bf W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AB} = m\vec g \cdot \overrightarrow{AB}\]

Travail du poids :

$\rm W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AB} = m\vec g \cdot \overrightarrow{AB}$ $\rm = mg\cdot AB \cdot \cos (\alpha)$.

Or dans le triangle $\rm OAB$ représenté ci-dessous :

$\displaystyle \rm \cos(\alpha) = \frac{AO}{AB} \Rightarrow AB \cdot \cos(\alpha) = AO$ $= z_{\mathrm A} - z_{\mathrm o}$
$\displaystyle \rm \cos(\alpha) = \frac{AO}{AB} \Rightarrow AB \cdot \cos(\alpha)$ $= z_{\mathrm A} - z_{\mathrm B}$
$\displaystyle \rm \cos(\alpha) = \frac{AO}{AB} \Rightarrow W_{AB}(\overrightarrow{P}) = mg\cdot AB$ $\cdot \cos(\alpha) = \mathrm{mg}(z_{\mathrm A} - z_{\mathrm B})$

Bilan : le travail du poids est défini par la relation suivantes :

\[\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{P}) = mg(\mathcal z_A - \mathcal z_B)}\]

Il ne dépend que de la variation d'altitude $z_{\rm A} - z_{\rm B}$ (en mètres).

Le travail de la force de frottements, sur le chemin $\rm AB$ s'exprime ainsi :

$\mathrm{W_{AB}}(\vec f) = \vec f \cdot \mathrm{\overrightarrow{AB}}\cdot \cos (180°)$ $= -f \cdot \rm AB$

Théorème de l’énergie cinétique :

La variation d'énergie cinétique $\rm E_c$ d'un solide entre $\rm A$ et $\rm B$ est liée au travail des forces appliquées entre $\rm A$ et $\rm B$ : c'est le théorème de l'energie cinétique :

$\rm E_{c_B}-E_{c_A} = \sum W_{AB}(\overrightarrow{F})$

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm B}^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm A}^2$ $\rm = \Delta E_c = \sum W_{AB}(\overrightarrow{F})$ avec $\rm A$ le point de départ et $\rm B$ le point d'arrivée.

Les forces de frottement : 

Ce sont des forces sui s’exercent dans la direction du déplacement mais en sens opposé. Le travail fourni est donc négatif.

Les frottements entre solides : 

La valeur de ces forces dépend de la taille de la surface de contact, de la nature et de l’état de la surface de chacun des solides.

Les frottements entre un fluide et un solide : 

La valeur de ces forces dépend de la vitesse du solide dans le fluide, de la nature du fluide et de sa température, de la nature du solide, de sa forme et de l’état de sa surface de contact