On considère une fonction $f$ continue sur l'intervalle $\rm I$. La fonction $\rm F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\rm I$ si pour tout $x \in \rm I$, $\mathrm F'(x) = f(x)$.
L'ensemble des primitives de la fonction $f$ sur $\rm I$ est alors composé des fonctions définies sur $\rm I$ par $\mathrm F(x) + k$ avec $k$ un nombre réel.
Exemple
Exemple
Les primitives de la fonction $f$ définies par $f(x) = {x}^2$ sur $]- \infty~ ; + \infty[$ sont les fonctions $\displaystyle \mathrm F(x) = \frac{{x}^3}{3} + k$ avec $k$ un nombre réel.
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.
EN RÉSUMÉ
Tableau de primitives
Tableau de primitives
Fonctions
Primitives
Intervalles
$x \mapsto a$
$x \mapsto ax + b$
$\rm I= \mathbb R$, $(a b) \in \mathbb R^2$
$x \mapsto x^n$
$\displaystyle x \mapsto \frac{x^{n+1}}{n + 1} + c$
$n \in \mathbb Z\backslash\{-1\}$, $c\in \mathbb R$
Si $n \geq 0$, $\rm I = \mathbb R$
Si $n < 0$, $\rm I = ] -\infty 0[$ ou $]0 +\infty[$
$x \mapsto \cos(x)$
$x \mapsto \sin(x) +c$
$\rm I = \mathbb R$, $c \in \mathbb R$
$x \mapsto \cos(ax + b)$
$\displaystyle x \mapsto \frac{1}{a}\sin(ax + b) + c$
$\rm I = \mathbb R$, $(a b c)\in \mathbb R^3$, $a \neq 0$
$x \mapsto \sin(x)$
$x \mapsto - \cos(x) + c$
$\rm I = \mathbb R$, $c \in \mathbb R$
$x \mapsto \sin(ax + b)$
$\displaystyle x \mapsto -\frac{1}{a}\cos(ax + b) + c$
$\rm I = \mathbb R$, $(a b c)\in \mathbb R^3$, $a \neq 0$
$\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}$
$x \mapsto \ln(x) + c$
$\rm I = ]0 +\infty[$, $c \in \mathbb R$
$x \mapsto \mathrm e^x$
$x \mapsto \mathrm e^x + c$
$\rm I = \mathbb R$, $c \in \mathbb R$
$u' \times u^n$
$\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1} + \rm C$
$n \in \mathbb N$ ou si $n \in \mathbb Z^- \backslash\{-1\}$, $u(x) \neq 0$
$u' \times \mathrm e^u$
$\mathrm e^u+ \mathrm C$
$\displaystyle \frac{u'}{u}$
$\ln(u)+ \mathrm C$
Intervalle tel que $u(x) > 0$
Primitives usuelles
Ce tableau présente les primitives des fonctions les plus couramment utilisées en mathématiques. Pour chaque fonction, on trouve sa primitive correspondante ainsi que l'intervalle de définition approprié.
Primitives avec composition de fonctions
Les dernières lignes du tableau montrent les primitives de fonctions composées qui utilisent la règle de dérivation en chaîne. Ces formules sont particulièrement utiles pour calculer les primitives de fonctions plus complexes où $u$ représente une fonction de $x$.
Comprendre la notion de primitive et savoir calculer les primitives des fonctions usuelles et de leurs combinaisons simples.
Pourquoi c'est important?
Les primitives sont utilisées pour:
Calculer des aires sous les courbes (intégrales).
Résoudre des équations différentielles.
Modéliser des phénomènes cumulatifs (distance à partir de la vitesse, volume à partir du débit…).
Petit rappel
UNE primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ telle que: $$F'(x) = f(x)$$
⚠️ Il existe une infinité de primitives pour une même fonction, c'est pourquoi on dit UNE primitive. Lorsque l'article défini LA est utilisé c'est que la primitive cherchée vérifie une condition particulière qui la rend unique.
