Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Définition
Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme trigonométrique lorsque :
$z = r(\mathrm{cos}(\theta) + i \mathrm{sin}(\theta))$
où $r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.
Module et argument
$r$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$. Il s'agit toujours d'un réel strictement positif car, géométriquement, c'est la distance entre l'origine $\mathrm{O}$ et le point $\mathrm{M}$ d'affixe $z$.
$\theta$ est un argument de $z$, noté $\mathrm{arg}(z)$. Il est défini à $2 \pi$ près (modulo $2\pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}~ ;~ \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ (en radians) dans le repère orthonormal direct $(\mathrm{O}~ ;~ \vec{u}~ ;~ \vec{v})$.
Propriétés
Pour tous les nombres complexes ${z}_1$ et ${z}_2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
Propriétés du produit
- Module du produit : $\mid {z}_1 \times {z}_2∣ = \mid {z}_1 \mid \times \mid {z}_2 \mid$
- Argument du produit : $\mathrm{arg}({z}_1 \times {z}_2) = \mathrm{arg}({z}_1) + \mathrm{arg}({z}_2) (2 \pi)$
Propriétés de la puissance
- Module de la puissance : $\mid {{z}_1}^{n} \mid = {\mid {z}_1 \mid}^{n}$
- Argument de la puissance : $\mathrm{arg}({{z}_1}^{n}) = n \times \mathrm{arg}({z}_1) (2 \pi)$
Relation module-conjugué
Pour un nombre complexe $z$, on a : $\mid z\mid ^2 = z \bar{z}$.
