Mouvement dans un champ électrique uniforme

Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique

Système et référentiel

Système : particule de masse $\rm m$ et de charge $q > 0$

Référentiel : terrestre supposé Galiléen

Bilan des forces

Poids négligé

Force électrique : $\mathrm{F\vec e} = q \times \rm \vec E$

Application de la deuxième loi de Newton

2e loi de Newton : $\displaystyle \rm \sum \vec F = m\mathcal{\vec a}$ soit $q\rm \vec E = m\mathcal{\vec a}$ et ainsi $\vec a = \dfrac{q}{\rm m}\rm \vec E$.

Équations horaires

Les équations horaires décrivent l'évolution de la vitesse et de la position en fonction du temps.

Vitesse :

$\vec v(t)\left\{\begin{array}{ll} v_x(t) = v_0 \times \cos \alpha\\ v_y(t) = \dfrac{-q\rm E}{\rm m} \times t + v_0 \times \sin \alpha \end{array}\right.$

Position :

$\overrightarrow{\mathrm{OG}(t)}\left\{\begin{array}{lll}\scriptstyle x(t) ~= ~v_0 \cos \alpha ~\times~ t\\ \scriptstyle y(t)~ =~ \frac{1}{2}~ \times~ \frac{-q\rm E}{\rm m} ~\times ~t^2~ +~ v_0 ~\times~ \sin \alpha ~\times~ t\end{array}\right.$

Équation de la trajectoire

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, on isole $t$ dans $x(t)$ et on remplace dans $y(t)$.

$y(x) = \dfrac{-q\times \rm E}{2\mathrm mv^2_0\cos^2 \alpha} \times x^2 + x \times \tan \alpha$

EN RÉSUMÉ

Objectif

Relier les forces agissant sur un objet à son mouvement.

Pourquoi c'est important ?

Les lois de Newton permettent de :

• Expliquer comment et pourquoi un objet accélère ou ralentit.
• Calculer les trajectoires et vitesses en présence de forces.
• Analyser des situations physiques (chute, frottements, satellites, etc.)

Petit rappel

• La dynamique étudie les causes des mouvements.
• Les lois de Newton décrivent le lien entre forces et mouvement.

🔧 Les étapes pour assurer

1. Les trois lois de Newton

• Principe d'inertie

Sans force résultante, un objet au repos reste au repos et un objet en mouvement garde une vitesse constante.

• Principe fondamental de la dynamique

$$\displaystyle\sum \vec{F_{\mathrm{ext}}} = m\vec{a}$$

Où

$\vec{F_{\mathrm{ext}}}$ : forces en $\mathrm{N}$
$m$ : masse en $\mathrm{kg}$
$\vec{a}$ : accélération en $\rm m \cdot s^{-2}$

• Principe d'action-réaction

Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors B exerce sur A une force de même intensité, de même direction, mais de sens opposé.

2. Unités et rappels

• Force : elle s'exprime en newton ($\mathrm{N}$)

$$1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}$$

• Poids

$$P = mg$$

Où :

$g$ : intensité de la pesanteur. Sur Terre $g \approx 9{,}81\,\mathrm{N \cdot kg^{-1}}$
$m$ : masse en $\mathrm{kg}$

❌ On évite absolument

• Oublier les forces de frottement ou de résistance.
• Confondre masse ($\mathrm{kg}$) et poids ($\mathrm{N}$).
• Appliquer la 2ᵉ loi si l'accélération est nulle (dans ce cas la force résultante est nulle).

✅ On valide

• Identifier toutes les forces (poids, réaction du support, frottements, traction…).
• Tracer un diagramme des forces.
• Utiliser des unités cohérentes.

Le petit + à retenir

Objectif

Comprendre et utiliser les vecteur vitesse et vecteur accélération pour décrire un mouvement en physique.

Pourquoi c'est important ?

• Décrire de manière complète le mouvement d'un objet, pas seulement sa vitesse.
• Analyser des trajectoires complexes (courbes, circulaires).
• Comprendre les effets des forces sur un objet (dynamique).

Petit rappel

• Une grandeur scalaire est définie uniquement par un nombre (ex : masse, température).
• Une grandeur vectorielle est définie par :
  • Une direction : ligne de mouvement (verticale vers le bas, vers le haut, etc)
  • Un sens : vers où pointe le vecteur
  • Une norme : sa valeur
• La vitesse et l'accélération sont des vecteurs.

🪜 Les étapes pour assurer

1. Vecteur vitesse

Définition :

$$\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{x}(t)}{dt}$$

• $\vec{x}(t)$ = vecteur position à l'instant $t$.
• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
• Sa norme = vitesse instantanée ($\mathrm{m/s}$).

Cas discret :

$$\vec{v}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}$$

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

• Direction : celle du mouvement.
• Sens : même sens que le déplacement.
• Norme : $\|\vec{v}\| = \dfrac{\mathrm{distance~parcourue}}{\mathrm{durée}}$

2. Vecteur accélération

Définition :

$$\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt}$$

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

• C'est la variation de la vitesse en norme, direction ou sens.
• Sa norme s'exprime en $\mathrm{m/s^2}$.

Cas discret :

$$\vec{a}_{\mathrm{moyenne}} = \dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

Remarque :

Même si la norme de la vitesse reste constante, il peut y avoir une accélération si la direction change (ex. mouvement circulaire uniforme).

Exemple

Un objet se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante :

• $\vec{v}$ change de direction en permanence → $\vec{a}$ est non nul
• $\vec{a}$ pointe vers le centre du cercle → accélération centripète.

❌ On évite absolument

• Confondre vitesse (scalaire) et vecteur vitesse.
• Penser qu'il n'y a accélération que si la vitesse change en valeur (elle peut aussi changer en direction).
• Oublier les unités : $\mathrm{m/s}$ pour la vitesse, $\mathrm{m/s^2}$ pour l'accélération.

✅ On valide

• Toujours représenter $\vec{v}$ tangent à la trajectoire.
• Représenter $\vec{a}$ vers l'intérieur de la courbe pour un mouvement circulaire.
• Bien différencier la variation de norme et la variation de direction.

Le petit + à retenir