Méthodo

Objectif

Comprendre la notion de dérivée et savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles et de leurs combinaisons simples.

Pourquoi c'est important ?

Les dérivées sont essentielles pour :

• Étudier la variation d'une fonction (croissance/décroissance).
• Trouver les maxima et minima (optimisation).
• Modéliser des vitesses instantanées ou taux de variation en physique, économie, biologie…
• Comprendre et utiliser les tangentes à une courbe.

Petit rappel

• La dérivée d'une fonction $f$ en un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Notations : $f'(x)$ ou $\dfrac{df}{dx}$
• Interprétation :
  • $f'(x) > 0$ → fonction croissante
  • $f'(x) = 0$ → fonction constante
  • $f'(x) < 0$ → fonction décroissante

🪜 Les étapes pour assurer

1. Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$
$\mathrm e^x$	$\mathrm e^x$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$

2. Règles de calcul des dérivées

• Somme et différence

  $(u + v)' = u' + v'$

  $(u - v)' = u' - v'$

• Produit

  $(uv)' = u'v + uv'$

• Quotient

  $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

• Composition

  $(u \circ v)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)$

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$u - v$	$u' - v'$
$uv$	$u'v + uv'$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$
$\mathrm e^u$	$u'\mathrm e^u$
$\sin(u)$	$u'\cos(u)$
$\cos(u)$	$-u'\sin(u)$

Exemples

• $f(x) = x^2 + 3x + 2$

  $f'(x) = 2x + 3$

• $f(x) = \dfrac{2x+1}{x}$

  $f'(x) = \dfrac{2 \times x - (2x + 1) \times 1}{x^2} = \dfrac{2x - 2x - 1}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}$

• $f(x) = \mathrm e^{3x}$

  $f'(x) = 3\mathrm e^{3x}$

• $f(x) = \ln(x^2)$

  $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x}$

• $f(x) = \cos(2x)$

  $f'(x) = -2\sin(2x)$

❌ On évite absolument

• Oublier de multiplier par la dérivée intérieure dans une fonction composée.
• Confondre dérivée et primitive (c'est l'inverse).
• Dériver de tête sans vérifier les règles.

✅ On valide

• Bien identifier la forme (somme, produit, quotient, composée) avant d'appliquer les règles.
• Vérifier si la fonction contient une composition.
• Simplifier après avoir dérivé.

Le petit + à retenir

 

Objectif

Comprendre la notion d'intégrale définie et savoir l'utiliser pour calculer des aires, des valeurs accumulées ou des grandeurs physiques.

Pourquoi c'est important ?

Les intégrales permettent de :

• Calculer des aires sous les courbes.
• Évaluer des valeurs cumulées (distance à partir de la vitesse, coût total, quantité produite…).
• Résoudre des problèmes en physique, économie, biologie.

Petit rappel

• L'intégrale définie de $f$ entre $a$ et $b$ : elle représente l'aire entre la courbe $y = f(x)$ et l'axe des abscisses de $x = a$ à $x = b$.

$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx$$

• Si $F$ est une primitive de $f$, alors :

$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$

🔧 Les étapes pour assurer

1. Propriétés

• Relation de Chasles de l'intégrale

$$\displaystyle \int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$$

• Multiplication par un scalaire $\lambda$ où $\lambda$ est un réel

$$\displaystyle \int_a^b \lambda f(x)dx = \lambda \int_a^b f(x)dx$$

• Linéarité où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles

$$\displaystyle \int_a^b \alpha f(x) + \beta g(x)dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b f(x)dx$$

• Symétrie

$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$$

2. Astuces calculatoires

• Intégrale nulle :

$$\displaystyle \int_a^a f(x)dx = 0$$

• Si $f$ est paire :

$$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$$

• Si $f$ est impaire :

$$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx = 0$$

Exemples 

Calcul d'une primitive $F$ des fonctions $f$ suivantes

• $I_1 = \displaystyle \int_{-1}^2 2x dx$

$I_1 = [x^2]_{-1}^2 = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

• $I_2 = \displaystyle \int_1^2 x^2 dx$

$I_2 = \left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_1^2 = \dfrac{1}{3} \times 2^3 - \dfrac{1}{3} \times 1^3 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$

• $I_3 = \displaystyle \int_1^{\rm e} \dfrac{1}{x} dx$

$I_3 = [\ln |x|]_1^{\rm e} = \ln|{\rm e}| - \ln|1| = \ln({\rm e}) - \ln(1) = 1 - 0$

• $I_4 = \displaystyle \int_0^1 {\rm e}^x dx$

$I_4 = [{\rm e}^x]_0^1 = {\rm e}^1 - {\rm e}^0 = {\rm e} - 1$

• $I_5 = \displaystyle \int_0^1 3{\rm e}^{2x} dx$

$I_5 = \left[\dfrac{3}{2}{\rm e}^{2x}\right]_0^1 = \dfrac{3}{2}{\rm e}^2 - \dfrac{3}{2}{\rm e}^0 = \dfrac{3}{2}{\rm e} - \dfrac{3}{2}$

❌ On évite absolument

• Oublier que l'intégrale peut être négative si la courbe est sous l'axe des abscisses.
• Se tromper de primitive → vérifier la dérivée.
• Inverser les bornes sans changer le signe.

✅ On valide

• Identifier la fonction à intégrer et ses bornes.
• Vérifier que l'intégrale est bien définie sur l'intervalle.
• Au moment d'intégrer, pas besoin d'ajouter la constante d'intégration car elle s'annule forcément en effectuant la différence lors du calcul de l'intégrale.

Le petit + à retenir

EN RÉSUMÉ

 

Objectif

Comprendre la notion de primitive et savoir calculer les primitives des fonctions usuelles et de leurs combinaisons simples.

Pourquoi c'est important ?

Les primitives sont utilisées pour :

• Calculer des aires sous les courbes (intégrales).
• Résoudre des équations différentielles.
• Modéliser des phénomènes cumulatifs (distance à partir de la vitesse, volume à partir du débit…).

Petit rappel

• UNE primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ telle que : $$F'(x) = f(x)$$

⚠️ Il existe une infinité de primitives pour une même fonction, c'est pourquoi on dit UNE primitive. Lorsque l'article défini LA est utilisé c'est que la primitive cherchée vérifie une condition particulière qui la rend unique.

🔧 Les étapes pour assurer

1. Primitives des fonctions usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$	$kx$
$x$	$\dfrac{1}{2}x^2$
$x^2$	$\dfrac{1}{3}x^3$
$x^3$	$\dfrac{1}{4}x^4$
$x^n$	$\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln |x|$
$\mathrm e^x$	$\mathrm e^x$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$
$\cos(x)$	$\sin(x)$

2. Règles de calcul des primitives

• Somme et différence

$$\int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$$ $$\int (f(x) - g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$$

• Multiplication par une constante $\lambda$

$$\int \lambda \times f(x)dx = \lambda \times \int f(x)dx$$

Exemples 

Calcul d'une primitive $F$ des fonctions $f$ suivantes

• $f(x) = 2x$ $$F(x) = \dfrac{2x^2}{2} + C = x^2 + C$$
• $f(x) = \dfrac{3}{x}$ $$F(x) = 3 \ln\vert x \vert + C$$
• $f(x) = \mathrm e^{3x}$ $$F(x) = \dfrac{1}{3}\mathrm e^{3x} + C$$
• $f(x) = \cos(2x)$ $$F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$$
• $f(x) = 3\mathrm e^{2x}$ $$F(x) = \dfrac{3}{2}\mathrm e^{2x}$$

❌ On évite absolument

• Oublier la constante d'intégration $C$.
• Confondre dérivée et primitive (c'est l'inverse).
• Dire LA primitive de $f$ au lieu d'UNE primitive de $f$.

✅ On valide

• Toujours ajouter une constante $C$ à la fin du calcul.
• En dérivant une primitive vous devez retomber sur la fonction originale.
• Identifier si la fonction correspond à une forme usuelle.

Le petit + à retenir