Dérivation

Nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant $x_0$.

On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le quotient $\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers 0.

Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f '(x_0)$.

On a donc $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$.

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction $f$ dérivable en $x_0$ on calcule $f '(x_0)$.

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$.

Équation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation :

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

EN RÉSUMÉ

Tableau des dérivées usuelles

Fonction	Fonction dérivée	Conditions, intervalle
$x \mapsto c$ ($c$ constante)	$x \mapsto 0$	$\mathbb R$
$x \mapsto ax + b$ ($a$, $b$ constantes)	$x \mapsto a$	$\mathbb R$
$x \mapsto x^n$	$x \mapsto nx^{n-1}$	$n \in \mathbb N^*$, $x \in \mathbb R$
$\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x^n}$	$\displaystyle x\mapsto - \frac{n}{x^{n+1}}$	$n \in \mathbb N^*$, $x \in \mathbb R$
$x \mapsto \cos (x)$	$x \mapsto -\sin(x)$	$\mathbb R$
$x \mapsto \cos (ax + b)$	$x \mapsto -a \sin (ax + b) + c$	$\mathrm I = \mathbb R$, $(a ; b ; c)\in \mathbb R^3$
$x \mapsto \sin (x)$	$x \mapsto \cos(x)$	$\mathbb R$
$x \mapsto \sin (ax + b)$	$x \mapsto a \cos (ax + b) + c$	$\mathrm I = \mathbb R$, $(a ; b ; c)\in \mathbb R^3$
$x \mapsto \mathrm e^x$	$x \mapsto \mathrm e^x$	$\mathbb R$
$x \mapsto \ln (x)$	$\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}$	$\mathbb R^*_+$
$\mathrm e^u$	$u' \mathrm e^u$
$(u^n)$	$nu'u^{n-1}$	$n \in \mathbb N$ ou si $n \in \mathbb Z^-$, $u(x) \neq 0$
$\ln(u)$	$\displaystyle \frac{u'}{u}$	${\rm I}$ où $u$ est strictement positive
$x \mapsto (g \circ f)(x) = g(f(x))$	$x \mapsto(g \circ f)'(x) = (g' \circ f)(x)\times f'(x) = g'(f(x))\times f'(x)$	$f$ dérivable sur ${\rm I}$, $f({\rm I}) \subset J$ intervalle, $g$ dérivable sur ${\rm J}$

Fonctions de base

Ce tableau présente les dérivées usuelles des fonctions les plus couramment utilisées en mathématiques. Les fonctions constantes ont une dérivée nulle, tandis que les fonctions linéaires ont une dérivée égale au coefficient directeur.

Fonctions puissances

Pour les fonctions puissances $x^n$, la dérivée suit la règle $nx^{n-1}$. Cette règle s'applique également aux fonctions inverses de la forme $\frac{1}{x^n}$.

Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques ont des dérivées particulières : la dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$, et la dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$. Pour les fonctions composées comme $\cos(ax + b)$ et $\sin(ax + b)$, il faut appliquer la règle de dérivation en chaîne.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

La fonction exponentielle $\mathrm e^x$ a la propriété remarquable d'être sa propre dérivée. La fonction logarithme $\ln(x)$ a pour dérivée $\frac{1}{x}$ sur l'intervalle $\mathbb R^*_+$.

Dérivation des fonctions composées

Les dernières lignes du tableau présentent les règles de dérivation pour les fonctions composées. La règle de dérivation en chaîne $(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$ est fondamentale pour dériver des fonctions complexes.

EN RÉSUMÉ

Règles de dérivation

Dérivée d'une somme

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u + v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(u + v)' = u' + v'$

Dérivée d'un produit par un réel

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(k \times u)' = k \times u'$

Dérivée d'un produit

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(u \times v)' = u' \times v + u \times v'$

Dérivée d'un quotient

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $\rm I$ alors $\displaystyle \frac{u}{v}$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$

Cas particulier

En particulier, $\displaystyle\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{{v}^2}$.

EN RÉSUMÉ

Dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$.

Fonction strictement croissante

Si $f '(x) > 0$ pour tout $x\in\mathrm I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\rm I$.

Fonction strictement décroissante

Si $f '(x) < 0$ pour tout $x\in\mathrm I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\mathrm I$.

Extremum d'une fonction

Soit $a\in \mathrm I$ qui est distinct des extrémités de $\mathrm I$.

Condition d'extremum local

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.

EN RÉSUMÉ

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Objectif

Comprendre la notion de dérivée et savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles et de leurs combinaisons simples.

Pourquoi c'est important ?

Les dérivées sont essentielles pour :

• Étudier la variation d'une fonction (croissance/décroissance).
• Trouver les maxima et minima (optimisation).
• Modéliser des vitesses instantanées ou taux de variation en physique, économie, biologie…
• Comprendre et utiliser les tangentes à une courbe.

Petit rappel

• La dérivée d'une fonction $f$ en un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Notations : $f'(x)$ ou $\dfrac{df}{dx}$
• Interprétation :
  • $f'(x) > 0$ → fonction croissante
  • $f'(x) = 0$ → fonction constante
  • $f'(x) < 0$ → fonction décroissante

🪜 Les étapes pour assurer

1. Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$
$\mathrm e^x$	$\mathrm e^x$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$

2. Règles de calcul des dérivées

• Somme et différence

  $(u + v)' = u' + v'$

  $(u - v)' = u' - v'$

• Produit

  $(uv)' = u'v + uv'$

• Quotient

  $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

• Composition

  $(u \circ v)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)$

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$u - v$	$u' - v'$
$uv$	$u'v + uv'$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$
$\mathrm e^u$	$u'\mathrm e^u$
$\sin(u)$	$u'\cos(u)$
$\cos(u)$	$-u'\sin(u)$

Exemples

• $f(x) = x^2 + 3x + 2$

  $f'(x) = 2x + 3$

• $f(x) = \dfrac{2x+1}{x}$

  $f'(x) = \dfrac{2 \times x - (2x + 1) \times 1}{x^2} = \dfrac{2x - 2x - 1}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}$

• $f(x) = \mathrm e^{3x}$

  $f'(x) = 3\mathrm e^{3x}$

• $f(x) = \ln(x^2)$

  $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x}$

• $f(x) = \cos(2x)$

  $f'(x) = -2\sin(2x)$

❌ On évite absolument

• Oublier de multiplier par la dérivée intérieure dans une fonction composée.
• Confondre dérivée et primitive (c'est l'inverse).
• Dériver de tête sans vérifier les règles.

✅ On valide

• Bien identifier la forme (somme, produit, quotient, composée) avant d'appliquer les règles.
• Vérifier si la fonction contient une composition.
• Simplifier après avoir dérivé.

Le petit + à retenir