Calcul intégral

Définition

On considère une fonction $f$ continue sur l'intervalle $[a ; b]$ ($a < b$) et on note $\mathrm F$ une de ses primitives. Cette définition établit le lien fondamental entre les primitives et les intégrales définies.

On a :

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = [\mathrm F(x)]_{a}^{b} = \mathrm F(b) - \mathrm F(a)$$

Exemple

La fonction $f$ définie par $f(x) = 2{x}^2$ est continue sur l'intervalle $[0 ; 2]$ et une de ses primitives sur cet intervalle est la fonction $F$ définie par $\mathrm F(x) = \frac{2{x}^3}{3}$.

$$\int_0^2 f(x) \mathrm dx = \left[\frac{2{x}^3}{3}\right]_0^2 = \frac{16}{3}$$

Propriétés

Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a ; b]$ ($a < c < b$) et un réel $k$, nous avons les propriétés suivantes :

Linéarité de l'intégrale

Additivité :

$$\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \mathrm dx = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx + \int_{a}^{b} g(x) \mathrm dx$$

Homogénéité :

$$\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx$$

Relation de Chasles

$$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx = \int_{a}^{c} f(x) \mathrm dx + \int_{c}^{b} f(x) \mathrm dx$$

Propriétés de comparaison

Positivité : $f(x) > 0$ sur $[a ; b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx > 0$

Croissance : $f(x) > g(x)$ sur $[a ; b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx > \int_{a}^{b} g(x) \mathrm dx$

Intégration par parties

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues et dérivables sur $[a ; b]$ ($a < b$). On suppose que les fonctions dérivées de $f$ et $g$ sont continues sur $[a ; b]$.

On a la formule d'intégration par parties :

$$\int_a^b f(x) g'(x) \mathrm{d}x = [f(x)\times g(x)]_a^b - \int_a^b g(x) f'(x) \mathrm{d}x$$

EN RÉSUMÉ

Calcul d'aire avec l'intégrale définie

Soit $f$ une fonction positive et continue sur l'intervalle $[a~ ; b]$. L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx$ (en unités d'aire).

Application pratique

Exemple

Pour la fonction $f$ définie par $f(x) = 2{x}^2$ qui est continue et positive sur l'intervalle $[0~; 2]$, l'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est :

$\displaystyle \mathrm A = \int_0^2 f(x) \mathrm dx = \frac{16}{3} \rm ~u.a.$

EN RÉSUMÉ

Valeur moyenne d'une fonction continue

Soit $\mu$ la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur l'intervalle $[a ; b]$ ($a < b$).

Formule de la valeur moyenne

On a :

$$\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx$$

Application pratique

Exemple

La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ est :

$$\mu = \frac{1}{2-0} \int_0^2 f(x) \mathrm dx = \frac{1}{2} \times \frac{16}{3} = \frac{8}{3}$$

EN RÉSUMÉ

En partenariat avec 

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Objectif

Comprendre la notion d'intégrale définie et savoir l'utiliser pour calculer des aires, des valeurs accumulées ou des grandeurs physiques.

Pourquoi c'est important ?

Les intégrales permettent de :

• Calculer des aires sous les courbes.
• Évaluer des valeurs cumulées (distance à partir de la vitesse, coût total, quantité produite…).
• Résoudre des problèmes en physique, économie, biologie.

Petit rappel

• L'intégrale définie de $f$ entre $a$ et $b$ : elle représente l'aire entre la courbe $y = f(x)$ et l'axe des abscisses de $x = a$ à $x = b$.

$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx$$

• Si $F$ est une primitive de $f$, alors :

$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$

🔧 Les étapes pour assurer

1. Propriétés

• Relation de Chasles de l'intégrale

$$\displaystyle \int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$$

• Multiplication par un scalaire $\lambda$ où $\lambda$ est un réel

$$\displaystyle \int_a^b \lambda f(x)dx = \lambda \int_a^b f(x)dx$$

• Linéarité où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles

$$\displaystyle \int_a^b \alpha f(x) + \beta g(x)dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b f(x)dx$$

• Symétrie

$$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$$

2. Astuces calculatoires

• Intégrale nulle :

$$\displaystyle \int_a^a f(x)dx = 0$$

• Si $f$ est paire :

$$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$$

• Si $f$ est impaire :

$$\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx = 0$$

Exemples 

Calcul d'une primitive $F$ des fonctions $f$ suivantes

• $I_1 = \displaystyle \int_{-1}^2 2x dx$

$I_1 = [x^2]_{-1}^2 = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

• $I_2 = \displaystyle \int_1^2 x^2 dx$

$I_2 = \left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_1^2 = \dfrac{1}{3} \times 2^3 - \dfrac{1}{3} \times 1^3 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$

• $I_3 = \displaystyle \int_1^{\rm e} \dfrac{1}{x} dx$

$I_3 = [\ln |x|]_1^{\rm e} = \ln|{\rm e}| - \ln|1| = \ln({\rm e}) - \ln(1) = 1 - 0$

• $I_4 = \displaystyle \int_0^1 {\rm e}^x dx$

$I_4 = [{\rm e}^x]_0^1 = {\rm e}^1 - {\rm e}^0 = {\rm e} - 1$

• $I_5 = \displaystyle \int_0^1 3{\rm e}^{2x} dx$

$I_5 = \left[\dfrac{3}{2}{\rm e}^{2x}\right]_0^1 = \dfrac{3}{2}{\rm e}^2 - \dfrac{3}{2}{\rm e}^0 = \dfrac{3}{2}{\rm e} - \dfrac{3}{2}$

❌ On évite absolument

• Oublier que l'intégrale peut être négative si la courbe est sous l'axe des abscisses.
• Se tromper de primitive → vérifier la dérivée.
• Inverser les bornes sans changer le signe.

✅ On valide

• Identifier la fonction à intégrer et ses bornes.
• Vérifier que l'intégrale est bien définie sur l'intervalle.
• Au moment d'intégrer, pas besoin d'ajouter la constante d'intégration car elle s'annule forcément en effectuant la différence lors du calcul de l'intégrale.

Le petit + à retenir

EN RÉSUMÉ