Fonctions primitives

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Définitions et propriétés

  • $F$ et $f$, deux fonctions définies sur un intervalle $I$.
    $F$ est une fonction primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)(\forall x \in I)$. 
  • Si $F$ est une fonction primitive de $f$ sur l’intervalle $I$ alors toute fonction $G$ telle que $G(x) = F(x) + c$ ($c$ est une constante réelle) est aussi une fonction primitive de $f$ sur $I$.
  • Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de fonctions primitives sur $I$.
  • $a$ est un réel de l’intervalle $I$ et $b$ dans $\mathbb R$.
    Il existe une seule fonction primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(a) = b$.

Tableau des primitives des fonctions usuelles

 

fonction $f$ 0 $a$

$x^n$ ; $n\neq -1$
$n \in \mathbb Z$

 $\dfrac{1}{x}$
primitives $F$ $a$ $ax+b$ $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ $\ln x$

 

Suite (1) :

$f(x)$ $\dfrac{1}{2\sqrt x}$  $\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ $u(x)^n.u'(x)$ ; $n\neq -1$ $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
$F(x)$ $\sqrt x$ $\sqrt{u(x)}$ $\dfrac{1}{n+1}u(x)^{n+1}$ $\ln u(x)$

Suite (2) :

$f(x)$ $u'(x).e^{u(x)}$ $ae^{ax}$ $\cos(x)$ $\sin(x)$ $1 + \tan^2(x)$
$F(x)$ $e^{u(x)}$ $e^{ax}$ $\sin(x)$ $-\cos(x)$ $\tan(x)$
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