Dans le triangle $\rm ABC$ rectangle en $\rm A$, on a ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.
Réciproquement, si ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$ alors le triangle $\rm ABC$ est rectangle en A.
Théorème de Thalès et sa réciproque
Soit $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ trois points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ trois autres points alignés dans le même ordre.
Si les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles, alors on a $\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}$.
Réciproquement, si pour $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ des points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ d'autres points alignés dans le même ordre, on a l'égalité $\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$, alors les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles.
EN RÉSUMÉ
Propriétés des quadrilatères
Le parallélogramme et ses propriétés
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles et de même longueur, et dont les diagonales se coupent en leur milieu.
Les quadrilatères particuliers
En plus de ces propriétés, certains quadrilatères possèdent des caractéristiques spécifiques :
Le rectangle a quatre angles droits et des diagonales de même longueur ;
Le losange a ses quatre côtés de même longueur et des diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu ;
Le carré a quatre angles droits, quatre côtés de même longueur et des diagonales de même longueur qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.
Savoir reconnaître quand utiliser Pythagore et calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle.
Pourquoi c'est important?
Le théorème de Pythagore sert à:
Calculer une distance (diagonales, hauteurs, hypoténuses…),
Résoudre des problèmes de géométrie,
Vérifier si un triangle est rectangle,
Applications en architecture, construction, navigation…
⚠️ Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles!
Petit rappel
Un triangle rectangle est un triangle avec un angle droit ($90°$).
Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté.
Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit.
Exemple
Dans ce triangle $\rm{AC}$ est l'hypoténuse et $\rm{AB}$ et $\rm{BC}$ sont les côtés de l'angle droit.
Les étapes pour assurer
1. Énoncé du théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans le triangle $\rm{ABC}$ rectangle en $\rm{B}$ ci-dessus:
$$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$$
Exemple
Dans ce triangle $\rm{ABC}$, $\rm{AB} = 4$ et $\rm{BC} = 5$.
Ainsi l'hypoténuse $\rm{AC}$ est donnée par:
$\rm{AC}^2 = \rm{AB}^2 + \rm{BC}^2$
$\rm{AC}^2 = 4^2 + 5^2$
$\rm{AC}^2 = 16 + 25$
$\rm{AC}^2 = 41$
$\rm{AC} = \sqrt{41} \approx 6,4$ unités de longueur
2. La réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.
Exemples
On considère un triangle dont les côtés mesurent respectivement $3 ~\rm{cm}$, $4 ~\rm{cm}$ et $5 ~\rm{cm}$. A-t-on $5^2 = 3^2 + 4^2$? $25 = 9 + 16$ ✓ donc le triangle considéré est rectangle.
On considère un autre triangle dont les côtés mesurent respectivement $5~ \rm{cm}$, $6 ~\rm{cm}$ et $7 ~\rm{cm}$. A-t-on $7^2 = 5^2 + 6^2$? $49 \neq 25 + 36$ $\checkmark$ donc le triangle considéré n'est pas rectangle
❌ On évite absolument
Confondre l'hypoténuse avec un autre côté.
Oublier de prendre la racine carrée à la fin.
Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.
✅ On valide
Bien identifier l'hypoténuse: c'est le côté le plus long! Il est toujours en face de l'angle droit.
Bien écrire la formule avant de remplacer par les valeurs.
Utiliser la racine carrée pour retrouver la longueur.
Le petit + à retenir
Je comprends le théorème de Thalès
Objectif
Comprendre et appliquer le théorème de Thalès pour calculer des longueurs dans des triangles avec des droites parallèles.
Pourquoi c'est important?
Le théorème de Thalès est un outil clé pour:
Calculer les longueurs manquantes sans mesurer,
Résoudre des problèmes de géométrie et de proportionnalité,
Démontrer que des droites sont parallèles
⚠️ Le théorème de Thalès ne s'applique que dans le cas de droites parallèles!
Petit rappel
Le théorème de Thalès concerne un triangle traversé par une droite parallèle à l'un de ses côtés
Cela crée deux triangles semblables → leurs côtés sont proportionnels
Exemple
Les triangles $\mathrm{ADE}$ et $\mathrm{ABC}$ sont semblables.
🏗 Les étapes pour assurer
1. Énoncé du théorème de Thalès
Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ ci-dessus, $\mathrm{D}$ appartient à $[\mathrm{AB}]$, $\mathrm{E}$ appartient à $[\mathrm{AC}]$ et les droites $(\mathrm{DE})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles. On a alors l'égalité des rapports suivants:
Si, dans un triangle, on place une droite qui coupe deux côtés, et que les rapports des longueurs sont égaux, alors la droite est parallèle au 3ᵉ côté.
