Géométrie

Repérage sur une droite graduée

Une droite graduée est composée d'une origine et d'une unité de longueur qui permet de placer la valeur $1$, puis les autres valeurs entières positives et négatives, en la reportant.

Vocabulaire

• $\rm O$ est l'origine et la longueur $\rm OI$ est l'unité de longueur.
• L'abscisse du point $\rm A$ est $\rm 3$ et l'abscisse du point $\rm B$ est $\rm -1,5$.
• On note $\rm A(3)$ et $\rm B(-1,5)$.

On peut aussi placer des nombres décimaux ou des fractions sur une droite graduée en dessinant des graduations plus précises.

Distance entre deux points sur la droite graduée

La distance entre deux points sur la droite graduée est la différence entre l'abscisse la plus grande et celle la plus petite.

Exemple

Sur la droite graduée ci-dessus : $\rm AB = (+ 3) – (-1,5) = 3 + 1,5 = 4,5.$

EN RÉSUMÉ

Repérage dans le plan

Définition des coordonnées

Dans un repère du plan, la position d'un point est définie par deux nombres relatifs qui sont ses coordonnées. La première est l'abscisse et la deuxième est l'ordonnée.

Le point $\rm O$ de coordonnées $(0~ ; 0)$ est l'origine du repère.

Lecture des coordonnées d'un point

On cherche l'abscisse d'un point sur l'axe horizontal (axe des abscisses) et son ordonnée sur l'axe vertical (axe des ordonnées).

Exemples de coordonnées

• Les coordonnées de $\rm A$ sont $(\color{limegreen}{-1}~ ; \color{red}{3})$.
• Les coordonnées de $\rm B$ sont $(\color{limegreen}{2}~ ; \color{red}{4})$.
• Les coordonnées de $\rm C$ sont $(\color{limegreen}{3}~ ; \color{red}{-2})$.

EN RÉSUMÉ

Périmètres des figures usuelles

Aire des figures usuelles

Formules de volumes

Pavé droit et cube

 

Cylindre, cône ou boule

 

Pyramide

 

Rappel : le nombre $\pi$
Le nombre $\pi$ (qui se lit « pi ») est un nombre utilisé pour les calculs liés au cercle et aux solides de révolution (cylindre, cône, boule).
C'est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction.

Sa valeur approchée est :

$$\pi \approx 3,14.$$

Pour les calculs, 

• utiliser la touche $\pi$ de la calculatrice ;
• ou prendre l'approximation $\pi \approx 3,14$ lorsque l'énoncé le demande.

Racine carrée

La racine carrée du nombre positif $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$.

Par définition, $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$.

Exemple

$5^2 = 25$ et $5$ est positif donc $\sqrt{25} = 5$.

Théorème de Pythagore

Dans le triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$, on a : ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Application

Dans un triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$, on a $\mathrm{AB = 3 \:cm}$ et $\mathrm{BC = 5\: cm}$.

Calculons $\mathrm{AC}$ :

D'après le théorème de Pythagore, on a ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.
$5^2 = 3^2 + {\mathrm{AC}}^2$ donc ${\mathrm{AC}}^2 = 25 - 9 = 16$, puis $\mathrm{AC = \sqrt{16} = 4 \:cm}$.

EN RÉSUMÉ

Théorème de Thalès

Soient $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ trois points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ trois autres points alignés dans le même ordre.

Configurations possibles

Il y a deux configurations possibles :

Énoncé du théorème

Si les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles, alors on a $\rm \displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.

RÉSUMÉ

Formules de trigonométrie

On considère le triangle $\rm ABC$ rectangle en $\rm A$.

Les trois rapports trigonométriques fondamentaux

$$\begin{array}{ll}\rm \displaystyle \cos \hat{B} = \frac{côté~adjacent~à~\hat{B}}{hypoténuse} = \frac{AB}{BC}\\ \rm \displaystyle \sin \hat{B} = \frac{côté~opposé~à~\hat{B}}{hypoténuse} = \frac{AC}{BC}\\ \rm \displaystyle \tan \hat{B} = \frac{côté~opposé~à~\hat{B}}{côté~adjacent~à~\hat{B}} = \frac{AC}{AB}\end{array}$$

Propriétés

Dans le triangle $\rm ABC$ rectangle en $\rm A$, les propriétés suivantes sont vérifiées :

Relation entre tangente, sinus et cosinus

$\tan \hat{\rm B} = \dfrac{\sin \hat{\rm B}}{\cos \hat{\rm B}}$ si $\cos \hat{\rm B}~\neq 0$

Domaines de valeurs

Les valeurs du cosinus et du sinus sont comprises entre 0 et 1 :

$0 \le \cos \hat{\rm B}~\le 1$      $0 \le \sin \hat{\rm B}~\le 1$

Ces propriétés sont aussi valables pour l'angle $\hat{\rm C}$.

EN RÉSUMÉ